[论文解读] Sp(n,1) admits a proper 1-cocycle for a uniformly bounded representation

Shintaro Nishikawa|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文通过在希尔伯特空间上构造一个适当的1-上循环，证明了关于 Sp(n,1) 的Shalom猜想。利用两种方法——抽象的自动适当性与显式的Sobolev嵌入不连续性——确立了Sp(n,1)可通过一致有界表示实现度量适当的仿射作用，从而解决了几何群论和秩一李群的Haagerup性质中的一个关键问题。

ABSTRACT

We verify Shalom's conjecture for the simple real-rank-one Lie group Sp(n ,1) for any n: i.e. we show that it admits a metrically proper affine action on a Hilbert space whose linear part is a uniformly bounded representation. We provide two different proofs. Both approaches crucially use results on uniformly bounded representations by Michael Cowling. The first approach is quite abstract: it uses an automatic-properness result of Shalom and requires almost no computations. The second approach is explicit: we deduce the properness of cocycles from the non-continuity of a critical case of the Sobolev embedding. This work is inspired from Pierre Julg's work on the Baum--Connes conjecture for Sp(n,1).

研究动机与目标

• 验证Shalom猜想，即Sp(n,1)在希尔伯特空间上存在一个一致有界表示的适当1-上循环。
• 将a-T-可约性的理解从具有Haagerup性质的群扩展至具有Kazhdan性质(T)的Sp(n,1。
• 解决一个开放问题：希尔伯特空间上的一致有界表示能否支持非阿贝尔、秩一李群的适当1-上循环？
• 提供两种不同的证明——一种是利用Shalom的自动适当性定理的抽象方法，另一种是通过Sobolev嵌入不连续性的显式方法——以展示结果的稳健性。
• 将关于SO₀(n,1)和SU(n,1)的适当上循环结果推广至Sp(n,1)，完成对实秩一单李群的分类。

提出的方法

• 利用Shalom的自动适当性结果：若在自反巴拿赫空间中存在非平凡1-上循环且其非上闭，则该上循环是适当的。
• 在G/P上积分为零的高阶微分形式空间W₀上构造一个欧氏范数，以确保表示π的连续性与一致有界性。
• 应用Michael Cowling关于一致有界表示的深刻结果，将π实现为在所构造范数下于W₀上的一致有界表示。
• 在显式证明中，使用Busemann上循环γ(x,y) = μ_y - μ_x，并通过Γ_{L²}(E*)中的Sobolev范数||(1+Δ_E)^{r/4 - 1/2} d_E γ||分析其范数。
• 利用Cayley变换将范数计算转移到Heisenberg型空间V中0点的邻域，将问题简化为奇异函数的局部可积性。
• 应用Fatou引理，证明当t→∞时，Δ_o^{r/4} log|x*x - y|的L²-范数发散，从而证明上循环的适当性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sp(n,1)是否在希尔伯特空间上的一致有界表示下存在适当的1-上循环？
• RQ2 Shalom的抽象自动适当性结果能否被用于在无需显式范数估计的情况下构造适当的上循环？
• RQ3 临界Sobolev嵌入的不连续性是否足以在一致有界设定下推出1-上循环的适当性？
• RQ4 尽管该群具有Kazhdan性质(T)，Busemann上循环是否仍能在一致有界表示下被证明为适当？
• RQ5 在Ω^top_{∫=0}(G/P)上的自然表示是否可赋予一个欧氏范数，使其成为一致有界且连续的？

主要发现

• Sp(n,1)通过一致有界表示在希尔伯特空间上实现了度量适当的仿射作用，从而确认了该群的Shalom猜想。
• 与扩张0 → W₀ → Ω^top(G/P) → ℂ → 0相关的1-上循环b，在W₀上赋予适当欧氏范数后是适当的。
• 在所构造的欧氏范数下，W₀ = Ω^top_{∫=0}(G/P)上的表示π是连续且一致有界的，其依据为Cowling的结果。
• 显式证明表明，当d_Z(x,y) → ∞时，||(1+Δ_E)^{r/4 - 1/2} d_E γ|| → ∞，通过Δ_o^{r/4} log|x*x - y|的非局部可积性确认了上循环的适当性。
• Busemann上循环的导数d_E γ关于Γ_{L^r}(E*)上的L^r-范数是适当的，从而也确立了等距L^r-表示下的适当性。
• SO₀(n,1)、SU(n,1)或Sp(n,1)的任意非紧闭子群在希尔伯特空间上的一致有界表示下均存在适当的1-上循环。