[论文解读] Space-Distribution PDEs for Path Independent Additive Functionals of McKean-Vlasov SDEs

Panpan Ren, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|May 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上建立了一类空间-分布 PDE，涉及标准导数与 Lions 的 $L$-导数，用于刻画麦凯恩-弗拉索夫 SDE 中加法泛函的路径无关性。证明了此类路径无关性等价于求解一个非线性 PDE，其解通过概率方法构造，并将经典的 Girsanov 变换结果作为特例恢复。

ABSTRACT

Let P2(Rd) be the space of probability measures on Rd with finite second moment. The path independence of additive functionals of McKean-Vlasov SDEs is characterized by PDEs on the product space Rd*P2(Rd) equipped with the usual derivative in space variable and Lions derivative in distribution. These PDEs are solved by using probabilis- tic arguments developed from [2]. In particular, the path independence of the Girsanov transformation killing the drift term is identified with a nonlinear PDE on Rd*P2(Rd), which includes corresponding results derived earlier for the classical SDEs as special situations.

研究动机与目标

• 刻画由漂移项和扩散项共同驱动的麦凯恩-弗拉索夫 SDE 中加法泛函的路径无关性。
• 识别在何种条件下，这些 SDE 的 Girsanov 变换能产生路径无关的密度。
• 通过在乘积空间 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上建立的 PDE，将标准 SDE 中经典的路径无关结果推广至分布依赖情形。
• 建立路径无关性与包含空间导数和分布导数的非线性 PDE 解之间的联系。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上将路径无关性条件形式化为一个 PDE，其中空间变量使用标准导数，分布变量使用 Lions 的 $L$-导数。
• 利用概率论论证，包括时间改变过程和条件分布上的期望，来构造 PDE 的解。
• 在分布设定下应用 Feynman-Kac 公式，将解表示为终端函数的条件期望。
• 依赖于在漂移和扩散系数满足 Lipschitz 类型条件时，麦凯恩-弗拉索夫 SDE 解的存在性与唯一性。
• 建立路径无关性与包含 $\partial_t + \mathbf{L}_{\sigma,b}$ 及梯度中二次项的非线性 PDE 可解性之间的等价关系。
• 应用变换技术，如 $V = -\beta \log \tilde{V}$，在 Girsanov 测度变换背景下建立非线性与线性 PDE 解之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，麦凯恩-弗拉索夫 SDE 的加法泛函 $A_{s,t}^{\mathbf{f},\mathbf{g}}$ 是路径无关的？
• RQ2 如何通过包含空间导数与分布导数的 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上的 PDE 来刻画路径无关性？
• RQ3 在麦凯恩-弗拉索夫框架下，Girsanov 变换的路径无关性与非线性 PDE 解之间有何联系？
• RQ4 经典标准 SDE 中的路径无关性结果如何作为所提框架的特例出现？

主要发现

• 加法泛函 $A_{s,t}^{\mathbf{f},\mathbf{g}}$ 的路径无关性等价于存在一个函数 $V \in C^{1,2,(1,1)}([0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d))$，满足 PDE $(\partial_t + \mathbf{L}_{\sigma,b})V = -\frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2 + \mathbf{f}$。
• PDE 的解通过概率方法构造为 $V(t,x,\mu) = \mathbb{E}[\Phi(X_{t,T}^{x,\mu}, P_{t,T}^*\mu)] - \mathbb{E}\left[\int_t^T \mathbf{f}(r,X_{t,r}^{x,\mu}, P_{t,r}^*\mu) dr\right]$。
• 当且仅当 $b(t,x,\mu) = \sigma(t,x,\mu)\sigma^*(t,x,\mu) \partial_x V(t,x,\mu)$ 时，消除漂移项的 Girsanov 变换是路径无关的，这对应于求解一个非线性 PDE，其中 $\mathbf{f} = \frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2$。
• 当分布依赖性消失（即 $\mu = \delta_x$）时，经典路径无关性结果在标准 SDE 情形下作为特例被恢复。
• 当 $\mathbf{f} = \frac{1}{2}|\mathbf{g}|^2$ 时，泛函 $A_{s,t}^{\mathbf{g}}$ 的路径无关性等价于求解 PDE $\partial_t V + \mathbf{L}_{\sigma,b} V = \frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2$。
• 变换 $V = -\beta \log \tilde{V}$ 将非线性 PDE 与线性 PDE $\partial_t \tilde{V} + \mathbf{L}_{\sigma,b} \tilde{V} = 0$ 联系起来，从而实现概率解的表示。