[论文解读] Milstein schemes for delay McKean equations and interacting particle systems.

Jianhai Bao, Christoph Reisinger+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文针对带超线性漂移的随机微分方程（SDEs）提出了一类驯服的米尔斯坦格式，采用时间离散化的相互作用粒子系统以及具有有限二阶矩的概率测度上的微积分。该研究建立了强收敛阶为1的结果，并实现了矩稳定性，同时通过反向多级蒙特卡洛方法引入截断驯服米尔斯坦格式，实现了最优复杂度，且无需模拟列维面积。

ABSTRACT

In this paper, we derive fully implementable first order time-stepping schemes for point delay McKean stochastic differential equations (McKean SDEs), possibly with a drift term exhibiting super-linear growth in the state component. Specifically, we propose different tamed Milstein schemes for a time-discretised interacting particle system associated with the McKean equation and prove strong convergence of order 1 and moment stability, making use of techniques from calculus on the space of probability measures with finite second order moments. In addition, we introduce a truncated tamed Milstein scheme based on an antithetic multi-level Monte Carlo approach, which leads to optimal complexity estimators for expected functionals without the need to simulate Levy areas.

研究动机与目标

• 为具有超线性漂移的点延迟麦凯恩SDEs开发完全可实现的一阶时间步长格式。
• 确保这些方程数值解的强收敛阶为1以及矩稳定性。
• 设计一种截断驯服米尔斯坦格式，避免列维面积的模拟，同时实现期望泛函的最优复杂度。
• 应用具有有限二阶矩的概率测度空间上的微积分技术，分析粒子系统近似。

提出的方法

• 推导适用于与延迟麦凯恩SDEs相关的时间离散化相互作用粒子系统的驯服米尔斯坦格式。
• 利用具有有限二阶矩的概率测度空间上的微积分分析粒子系统的收敛性与稳定性。
• 引入截断驯服米尔斯坦格式以提高计算效率并避免列维面积的模拟。
• 采用反向多级蒙特卡洛方法以降低方差，并在估计期望泛函时实现最优复杂度。
• 应用驯服技术控制SDE中漂移项的增长，确保数值稳定性。
• 结合时间离散化与粒子系统近似，在完全可实现的数值框架中建模麦凯恩SDEs。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有超线性漂移项的延迟麦凯恩SDEs构造驯服米尔斯坦格式？
• RQ2 在相互作用粒子系统的背景下，这些格式的强收敛速率和矩稳定性行为如何？
• RQ3 能否设计一种截断驯服米尔斯坦格式，避免列维面积模拟，同时保持最优复杂度？
• RQ4 反向多级蒙特卡洛方法如何提升期望泛函估计的效率？

主要发现

• 所提出的驯服米尔斯坦格式对具有超线性漂移的延迟麦凯恩SDEs实现了强收敛阶1。
• 建立了驯服格式的矩稳定性，确保数值矩随时间有界。
• 截断驯服米尔斯坦格式可在不模拟列维面积的情况下，实现期望泛函的最优复杂度估计器。
• 反向多级蒙特卡洛方法有效降低了方差，并提升了泛函估计的计算效率。
• 分析依赖于具有有限二阶矩的概率测度空间上的高级微积分，从而实现了严格的收敛性与稳定性结果。