[论文解读] Space-efficient binary optimization for variational computing

Adam Glos, Aleksandra Krawiec+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对含噪声中等规模量子（NISQ）设备上变分量子算法的空间高效二进制编码方案，特别针对旅行商问题（TSP）。通过重新定义量子比特编码以减少量子比特数量，代价是增加电路深度，该方法使在QAOA框架内实现高阶二进制优化问题成为可能，在保持效率的同时通过可调插值实现量子比特效率与深度效率之间的平衡，显著降低了量子比特需求。

ABSTRACT

In the era of Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) computers it is crucial to design quantum algorithms which do not require many qubits or deep circuits. Unfortunately, the most well-known quantum algorithms are too demanding to be run on currently available quantum devices. Moreover, even the state-of-the-art algorithms developed for the NISQ era often suffer from high space complexity requirements for particular problem classes. In this paper, we show that it is possible to greatly reduce the number of qubits needed for the Traveling Salesman Problem (TSP), a paradigmatic optimization task, at the cost of having deeper variational circuits. While the focus is on this particular problem, we claim that the approach can be generalized for other problems where the standard bit-encoding is highly inefficient. Finally, we also propose encoding schemes which smoothly interpolate between the qubit-efficient and the circuit depth-efficient models. All the proposed encodings remain efficient to implement within the Quantum Approximate Optimization Algorithm framework.

研究动机与目标

• 解决现有组合优化量子算法在NISQ设备上面临的空间复杂度过高的问题。
• 在不牺牲可行性的情况下，减少使用变分量子算法求解TSP所需的量子比特数量。
• 开发可在量子比特效率与电路深度效率模型之间平滑插值的编码方案。
• 确保所有提出的编码在QAOA框架内均保持高效且可实现。
• 提供不同编码下测量需求与收敛行为的理论与实证分析。

提出的方法

• 提出一种新颖的量子比特编码策略，通过使用比标准位编码更少的量子比特将TSP解映射为二进制字符串，尤其适用于高阶优化问题。
• 通过目标哈密顿量中可调的惩罚参数 $ A_1, A_2 $ 实现量子比特效率与深度效率编码之间的可调插值。
• 通过无二次化方法，将量子近似优化算法（QAOA）适配用于高阶二进制优化问题（HOBO）。
• 采用改进的哈密顿量形式，通过惩罚项 $ H_{\text{valid}} $ 和 $ H_{\neq} $ 编码约束，确保仅可行解在能量上占优。
• 采用混合编码方式，引入松弛变量 $ \xi_{t,i} $ 以实现对有效TSP路径的容错表示。
• 应用霍夫丁不等式估计能量估计所需的测量次数，同时考虑采样误差与估计误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变分量子算法中，是否能显著减少求解TSP所需的量子比特数量，同时避免电路深度过度增加？
• RQ2 量子比特数量与电路深度之间的权衡如何影响QAOA在组合优化中的成功概率与收敛性？
• RQ3 编码方案在多大程度上可推广至其他标准位编码效率低下的问题？
• RQ4 惩罚参数缩放对具有高阶目标函数的QAOA优化景观与收敛性有何影响？
• RQ5 在不同编码策略下，面对噪声与有限采样时，为可靠估计能量需要多少次测量？

主要发现

• 所提出的编码将求解TSP所需的量子比特数量从 $ O(N^2) $ 降低至 $ O(N) $，实现了量子比特数量的二次减少。
• 对于 $ r = 15 $，在QUBO编码下，测量到可行TSP解的最大成功概率可达0.85，100个实例的平均最优概率表现出良好的收敛性。
• 能量估计所需的测量次数按 $ \Omega(\operatorname{range}(W)) $ 缩放，在典型假设下 $ \operatorname{range}(W) \sim N $，意味着 $ \tilde{O}(N) $ 次采样足以实现恒定误差。
• 哈密顿量的能隙保持远离零点（阶为常数），支持QAOA中类似绝热收敛的可行性。
• 混合编码方法允许松弛变量 $ \xi_{t,i} $ 出现错误赋值，但通过惩罚控制维持了可行性。
• 数值结果表明，当 $ A_1 = A_2 = 1 $，$ R = \pi $，且 $ r \leq 15 $ 时，算法与可行空间的重叠度很高，表明优化效果良好。