[论文解读] Space-time domain decomposition for advection-diffusion problems in mixed formulations

Thi‐Thao‐Phuong Hoang, Caroline Japhet+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering参考文献 52被引用 21

一句话总结

该论文提出了一种用于混合弱形式中对流-扩散问题的时空域分解方法，通过算子分裂实现对流与扩散过程的独立时间推进，支持非 conforming 时间网格及对流与扩散的不同时间步长。提出了两种方法——GTP-Schur（采用广义 Neumann-Neumann 预条件子）与 GTO-Schwarz（采用优化的 Robin 传输条件），结果表明 GTO-Schwarz 的收敛速度比 GTP-Schur 快 2 至 2.5 倍，且在对流主导与扩散主导的各类情形下均保持鲁棒性。

ABSTRACT

This paper is concerned with the numerical solution of porous-media flow and transport problems , i. e. heterogeneous, advection-diffusion problems. Its aim is to investigate numerical schemes for these problems in which different time steps can be used in different parts of the domain. Global-in-time, non-overlapping domain-decomposition methods are coupled with operator splitting making possible the different treatment of the advection and diffusion terms. Two domain-decomposition methods are considered: one uses the time-dependent Steklov--Poincar{\\'e} operator and the other uses optimized Schwarz waveform relaxation (OSWR) based on Robin transmission conditions. For each method, a mixed formulation of an interface problem on the space-time interface is derived, and different time grids are employed to adapt to different time scales in the subdomains. A generalized Neumann-Neumann preconditioner is proposed for the first method. To illustrate the two methods numerical results for two-dimensional problems with strong heterogeneities are presented. These include both academic problems and more realistic prototypes for simulations for the underground storage of nuclear waste.

研究动机与目标

• 解决在多孔介质中具有广泛时间尺度差异的非均质对流-扩散问题的模拟挑战，尤其针对核废料储存应用。
• 通过在子域内对对流与扩散过程分别采用不同时间步长，克服传统均匀时间推进的局限性。
• 开发支持非 conforming 时间网格的时空域分解方法，并在存在异质系数的情况下保持时间精度。
• 利用混合有限元方法与优化的传输条件，确保在对流主导与扩散主导情形下均实现质量守恒与鲁棒收敛。
• 在包含核废料储存库原型的现实 2D 测试案例上验证方法的可扩展性与效率，涵盖复杂几何结构与材料特性。

提出的方法

• 采用全局时间、非重叠域分解方法，结合算子分裂技术，分别处理对流与扩散过程，实现在子域内独立时间推进。
• 构建两种时空界面问题：一种基于时变的 Steklov–Poincaré 算子（GTP-Schur），另一种基于 Robin 传输条件（GTO-Schwarz），用于优化 Schwarz 波形松弛。
• 在界面问题中引入新的离散未知量以处理对流项的 Dirichlet 传输条件，确保与单域弱形式的一致性。
• 采用最优时间投影算法，处理子域间非 conforming 时间网格，无需额外的网格加密。
• 为 GTP-Schur 方法实现广义 Neumann-Neumann 预条件子，以提升收敛性，尤其在系数对比度高的扩散主导情形下。
• 对对流项采用迎风有限体积法（时间方向为显式欧拉格式），对扩散项采用混合有限元法与隐式欧拉格式，确保质量守恒与数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将时空域分解方法扩展至混合弱形式中的对流-扩散问题，同时允许对流与扩散过程采用不同的时间步长？
• RQ2 在具有强非均质性的对流-扩散问题中，GTP-Schur 与 GTO-Schwarz 方法在收敛速率与鲁棒性方面表现如何？
• RQ3 非 conforming 时间网格的使用在多大程度上影响解的时间精度？是否可有效缓解这一影响？
• RQ4 广义 Neumann-Neumann 预条件子对 GTP-Schur 方法的收敛性有何影响，特别是在对流主导情形下？
• RQ5 GTO-Schwarz 方法中采用的优化 Robin 参数是否在不同物理条件下均提供更强的鲁棒性与更优的收敛性能，相较于 GTP-Schur 方法？

主要发现

• 在实现固定误差降低所需子域求解次数方面，GTO-Schwarz 方法的性能比 GTP-Schur 方法快 2 至 2.5 倍。
• 由于采用了优化的 Robin 传输条件，GTO-Schwarz 方法对离散化参数的依赖性极弱，使其在对流主导与扩散主导情形下均表现鲁棒。
• 在扩散主导情形下，采用广义 Neumann-Neumann 预条件子的 GTP-Schur 方法表现出与网格尺寸无关的收敛性；而未使用预条件子时，收敛性强烈依赖于网格尺寸。
• 在对流主导情形下，Neumann-Neumann 预条件子反而会减缓 GTP-Schur 的收敛速度，但其渐近收敛性仍表现出对网格尺寸的微弱依赖。
• 使用非 conforming 时间网格引入的误差接近于 conforming 细网格的误差水平，有效保持了在双子域与多子域配置下的时间精度。
• 通过利用前一时间窗口的自适应初始猜测，每个时间窗口仅需少数几次迭代即可达到格式误差水平，表明其具备高效的时序推进性能。