[论文解读] Spaces of Quantum Field Theories

Michael R. Douglas|arXiv (Cornell University)|May 16, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文提出了一种通过引入二维共形场论（CFT）之间的距离函数，来定义‘量子场论（QFT）空间’的框架，从而能够研究其几何与拓扑结构。受黎曼流形分类的启发，该框架基于一致性构建了一种流，利用共形块和结合性约束，系统地从近似的、弱的QFT逼近物理QFT，关键成果包括对算符维数的猜想上界以及一种由度量驱动的流以强制一致性。

ABSTRACT

The concept of a "space of quantum field theories" or "theory space" was set out in the 1970's in work of Wilson, Friedan and others. This structure should play an important role in organizing and classifying QFTs, and in the study of the string landscape, allowing us to say when two theories are connected by finite variations of the couplings or by RG flows, when a sequence of QFTs converges to another QFT, and bounding the amount of information needed to uniquely specify a QFT, enabling us to estimate their number. As yet we do not have any definition of theory space which can be used to make such arguments. In this talk, we will describe various concepts and tools which should be developed for this purpose, inspired by the analogous mathematical problem of studying the space of Riemannian manifolds. We state two general conjectures about the space of two-dimensional conformal field theories, and we define a distance function on this space, which gives a distance between any pair of theories, whether or not they are connected by varying moduli. Based on talks given at QTS6 (University of Kentucky), Erice, Texas A& M, and Northwestern University. To appear in the proceedings of QTS6.

研究动机与目标

• 开发一个几何与拓扑框架，通过定义类似于黎曼流形空间的‘QFT空间’，对量子场论进行分类。
• 解决QFT分类缺乏系统方法的问题，特别是在c<2的二维CFT情形下，由于原初场快速增长，代数方法失效。
• 定义任意两个QFT之间的距离函数，即使它们不通过耦合变化或RG流相连，也基于共形对称性和算符谱约束。
• 通过最小化结合性失败函数U，在耦合和维数参数上使用梯度流，从弱QFT（不完全一致性）构造到完整QFT的流。
• 为估计QFT的数量以及理解理论空间中的收敛性与连通性提供基础，特别是在弦景观的背景下。

提出的方法

• 基于共形对称性以及共形块在对称点z=1/2处的行为，在二维CFT空间上定义距离函数。
• 将四点函数的结合性作为一致性条件，以涉及共形块的泛函方程形式表达。
• 构建一个失败函数U，量化由有界共形维数h, h̄ ≤ H的算符构成的近似四点函数中结合性的偏离程度。
• 通过方程 Ẇi = -Gij ∂U/∂Vj 在参数空间（维数与OPE系数）上实现梯度流，以最小化U并逼近一个一致的QFT。
• 利用幺正性确保结合方程中所有项为正，从而支持基于符号的二阶导数分析，以检测缺失的算符。
• 将论证推广至广义的Virasoro代数之外，仅依赖于有限维共形群SO(d,2)，使其适用于任意时空维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在QFT空间上定义一种几何结构，使得理论之间的距离、收敛性与连通性概念得以成立？
• RQ2 是否存在一个有限的上界，限制可唯一指定一个二维CFT的自由度数或共形维数，即使在非有理情形下？
• RQ3 能否通过最小化结合性失败函数U，系统地从弱QFT构造出一个一致的QFT？
• RQ4 共形块在z=1/2处的行为能否区分具有或不具有特定维数中间算符的理论？
• RQ5 能否形式化反c-定理，以确保所有c<2的CFT均能作为具有有界标量场的有限组拉格朗日理论的RG流出现？

主要发现

• 基于共形对称性以及共形块在z=1/2处的行为，定义了任意两个二维CFT之间的距离函数，且该定义独立于它们是否通过耦合变化相连。
• 共形块在z=1/2处二阶导数的差异可指示中间算符的存在或缺失：当h_i < f(h_ϕ)时为存在，当h_i > f(h_ϕ)时为缺失，其中在d=2时f(h_ϕ) ≳ 4h_ϕ。
• 构建了一个函数U，用于度量由有界共形维数的算符构成的近似四点函数中结合性的失败程度。
• 提出一种梯度流，通过变化算符维数与OPE系数来最小化U，目标是收敛至一个一致的QFT。
• 该方法避免依赖Virasoro表示理论，转而仅使用有限维共形群SO(d,2)，因而可推广至任意时空维度。
• 该方法暗示了一条将QFT分类的路径：将QFT视为度量空间中的点，一致性条件作为几何约束。