[论文解读] Spacetime Meshing for Discontinuous Galerkin Methods

Thite, Shripad|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 74被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于间断伽辽金方法的新型推进前缘时空网格生成算法，可在 (d+1) 维时空域中构建非结构化、自适应的单纯形网格。通过利用锥约束和双参数优化以最大化时空四面体的高度，该方法实现了有界的时空纵横比，支持动态加密与粗化，并可实现对具有非线性和各向异性行为的偏微分方程的并行求解。

ABSTRACT

Spacetime discontinuous Galerkin (SDG) finite element methods are used to solve such PDEs involving space and time variables arising from wave propagation phenomena in important applications in science and engineering. To support an accurate and efficient solution procedure using SDG methods and to exploit the flexibility of these methods, we give a meshing algorithm to construct an unstructured simplicial spacetime mesh over an arbitrary simplicial space domain. Our algorithm is the first spacetime meshing algorithm suitable for efficient solution of nonlinear phenomena in anisotropic media using novel discontinuous Galerkin finite element methods for implicit solutions directly in spacetime. Given a triangulated d-dimensional Euclidean space domain M (a simplicial complex) and initial conditions of the underlying hyperbolic spacetime PDE, we construct an unstructured simplicial mesh of the (d+1)-dimensional spacetime domain M x [0,infinity). Our algorithm uses a near-optimal number of spacetime elements, each with bounded temporal aspect ratio for any finite prefix M x [0,T] of spacetime. Our algorithm is an advancing front procedure that constructs the spacetime mesh incrementally, an extension of the Tent Pitcher algorithm of Ungor and Sheffer (2000). In 2DxTime, our algorithm simultaneously adapts the size and shape of spacetime tetrahedra to a spacetime error indicator. We are able to incorporate more general front modification operations, such as edge flips and limited mesh smoothing. Our algorithm represents recent progress towards a meshing algorithm in 2DxTime to track moving domain boundaries and other singular surfaces such as shock fronts.

研究动机与目标

• 开发一种适用于时空间断伽辽金（SDG）方法的网格生成算法，以实现对具有间断的双曲型偏微分方程的精确且高效求解。
• 解决在保持几何与数值稳定性的同时，构建能适应非线性和各向异性介质的非结构化时空网格的挑战。
• 通过允许在新添加的时空单元中立即进行计算，实现偏微分方程的增量式、并行化求解。
• 通过整合动态加密、粗化、边翻转和有限平滑操作，将网格自适应与前缘推进统一起来。
• 在支持通过自适应参数选择实现实际改进的同时，为时间纵横比和网格质量提供理论保证。

提出的方法

• 将时空网格生成建模为双参数优化问题，以最大化时空四面体的高度，平衡时间与空间的推进。
• 利用锥约束来施加在网格面上的梯度条件，确保因果结构，并支持鲁棒的前缘传播。
• 实现一种受帐篷工法启发的推进前缘过程，通过引入包括边翻转和有限网格平滑在内的自适应前缘修改操作进行扩展。
• 通过粗化相邻面并促进共面性，实现非贪婪的前缘推进，以改善未来的网格质量。
• 应用局部网格优化技术（如边扩张与收缩）以增加高质量时空单元的数量。
• 通过确保所有单元均为弱单纯复形且至少具有一个因果流出面，即使在组合变化下也维持网格的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使时空网格生成在适应非线性和各向异性偏微分方程响应的同时，保持有界的时空纵横比？
• RQ2 哪些算法机制能够实现使用间断伽辽金方法在时空中对双曲型偏微分方程进行高效、增量式且可并行化的求解？
• RQ3 通过非贪婪前缘推进策略（可预见未来的几何变化）是否能够改善网格质量？
• RQ4 在适用于 SDG 方法的网格中，时空单元数量及其纵横比的理论界限是什么？
• RQ5 如何将边翻转和粗化等前缘操作整合进推进前缘框架中，以支持动态域边界和激波前缘？

主要发现

• 该算法在 d 维空间域上构建了非结构化的单纯形时空网格，对于任意有限时间前缀 T，其单元数量接近最优。
• 所有时空单元均保持有界的时空纵横比，确保了 SDG 方法中的数值稳定性。
• 该算法支持动态加密与粗化，包括边翻转和有限网格平滑，从而在实践中提升单元质量。
• 时空单元数量在相同约束下被证明接近大小最优网格的数量。
• 即使在更高维空间 d ≥ 3 的情况下，该算法也能保证以常数因子推进，且有限网格平滑显著提升了实际质量。
• 实验结果证实，提升前缘的空间投影质量可带来更高品质的时空单元。