[论文解读] Spanning Trees in Graphs of High Minimum Degree with a Universal Vertex I: An Approximate Asymptotic Result

Bruce Reed, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文证明了当 m 足够大时，任意具有 m+1 个顶点、一个通用顶点且最小度数至少为 ⌊2m/3⌋ 的图都包含每棵具有 m 条边的树作为子图。该结果建立了 Havet、Reed、Stein 和 Wood 所提出猜想的近似渐近版本，确认了极值图论中的一个关键特例。

ABSTRACT

In this paper and a companion paper, we prove that, if $m$ is sufficiently large, every graph on $m+1$ vertices that has a universal vertex and minimum degree at least $\lfloor \frac{2m}{3} floor$ contains each tree $T$ with $m$ edges as a subgraph. The present paper already contains an approximate asymptotic version of the result. Our result confirms, for large $m$, an important special case of a recent conjecture by Havet, Reed, Stein, and Wood.

研究动机与目标

• 研究具有高最小度和一个通用顶点的图中支撑树的存在性。
• 解决 Havet、Reed、Stein 和 Wood 提出的关于此类图中包含所有具有 m 条边的树的猜想。
• 为大的 m 建立一个近似渐近结果，确认该猜想的关键特例。
• 通过刻画给定大小的所有树作为子图存在的条件，为极值图论做出贡献。

提出的方法

• 分析具有 m+1 个顶点、一个通用顶点且最小度数至少为 ⌊2m/3⌋ 的图。
• 应用渐近方法研究所有具有 m 条边的树作为子图的包含性。
• 使用结构图论技术，界定支撑树必然存在的条件。
• 聚焦于 m 增大时的渐近行为，建立结果并允许存在一个小的误差项。
• 利用通用顶点的存在性，简化任意树的嵌入过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于足够大的 m，每个具有 m+1 个顶点、一个通用顶点且最小度数至少为 ⌊2m/3⌋ 的图是否都包含每棵具有 m 条边的树作为子图？
• RQ2 通用顶点的存在在多大程度上促进了所有具有 m 条边的树的嵌入？
• RQ3 能否证明 Havet、Reed、Stein 和 Wood 所提猜想的近似渐近版本？
• RQ4 何种结构约束可确保在高最小度图中所有大小为 m 的树都是子图？

主要发现

• 当 m 足够大时，每个具有 m+1 个顶点、一个通用顶点且最小度数至少为 ⌊2m/3⌋ 的图都包含每棵具有 m 条边的树作为子图。
• 该结果确认了 Havet、Reed、Stein 和 Wood 最近提出的猜想在大 m 情况下的一个重要特例。
• 建立了该猜想的近似渐近版本，表明在给定条件下此类树的存在性。
• 通用顶点的存在显著增强了支撑树必然存在的条件。