[论文解读] Spans in 2-Categories: A monoidal tricategory

Alexander E. Hoffnung|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文通过使用Trimble的生成元与关系定义构造一个单对象四范畴，确立了具有有限极限的严格2-范畴中的广义段构成一个张量三范畴。它利用加权严格2-极限，特别是同构-叉积对象和W-加权拉回，来定义具有可逆2-细胞的拉回，从而确保三范畴结构的一致性。其主要贡献在于构建了一个广义段的半严格三范畴，其中结合律和单位修正为非恒等的伴随等价，使其与Gray-范畴相区别。

ABSTRACT

We present Trimble's definition of a tetracategory and prove that the spans in (strict) 2-categories with certain limits have the structure of a monoidal tricategory, defined as a one-object tetracategory. We recall some notions of limits in 2-categories for use in the construction of the monoidal tricategory of spans.

研究动机与目标

• 确立具有有限极限的严格2-范畴中的广义段构成一个张量三范畴。
• 通过Trimble的四范畴定义（基于生成元与关系）提供该三范畴的具体构造。
• 阐明加权严格2-极限（尤其是W-加权拉回和同构-叉积对象）在定义具有可逆2-细胞的一致性拉回中的作用。
• 证明所得三范畴为半严格：修正为平凡，但结合律与单位的伴随等价非恒等，因此不构成Gray-范畴结构。

提出的方法

• 使用Trimble对四范畴的定义（即单对象四范畴）来定义张量三范畴。
• 将严格2-范畴C中的广义段定义为具有共同目标的1-态射，并通过交换锥给出2-态射。
• 采用加权严格2-极限，特别是W-加权拉回，来模拟具有可逆2-细胞的伪拉回。
• 通过非锥形加权函子W: D → Cat构造极限锥，引入投影之间的可逆2-态射。
• 通过严格可逆变换φ建立普遍性质，确保比较映射的全忠实性与唯一性。
• 通过证明修正（modifications）与通过同构φA对应的唯一2-态射一一对应，验证一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限极限的严格2-范畴中的广义段能否被赋予张量三范畴的结构？
• RQ2 加权严格2-极限（如W-加权拉回）如何促进具有可逆2-细胞的一致性广义段的构造？
• RQ3 尽管修正为平凡，为何所得三范畴不构成Gray-范畴？
• RQ4 结合律与单位的伴随等价在区分此三范畴与更严格结构中起什么作用？
• RQ5 在拉回构造中使用同构-叉积对象与可逆2-细胞如何确保三范畴的一致性？

主要发现

• 具有有限极限的严格2-范畴中的广义段在Trimble的四范畴框架下构成一个张量三范畴。
• 该三范畴结构源于一个单对象四范畴，其中态射为广义段，2-态射为交换锥。
• 该构造依赖于W-加权严格2-极限来模拟具有可逆2-细胞的伪拉回，从而确保一致性。
• 普遍性质中的修正为平凡，但结合律与单位的伴随等价非恒等，因此该结构不能成为Gray-范畴。
• 通过严格可逆变换φ验证普遍性质，确保每个锥唯一地提升为比较映射。
• 所得三范畴为半严格：其并非完全弱化，但也不如Gray-范畴那般严格，因其结合律与单位公理中存在非恒等的协调数据。