[论文解读] Sparse graphs: metrics and random models

Béla Bollobás, Oliver Riordan|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用 8

一句话总结

本论文研究了边数为 Θ(n) 的稀疏图的度量与随机图模型，重点关注在归一化 p=1/n 条件下，割度量、子图度量和划分度量。结果表明，标准稠密图收敛结果无法推广至稀疏图，因此提出了新的模型（如基于三角形的配置模型 T(n,d)），以捕捉这些度量下柯西序列中的局部与全局结构。

ABSTRACT

Recently, Bollobás, Janson and Riordan introduced a family of random graph models producing inhomogeneous graphs with $n$ vertices and $Θ(n)$ edges whose distribution is characterized by a kernel, i.e., a symmetric measurable function $\ka:[0,1]^2 o [0,\infty)$. To understand these models, we should like to know when different kernels $\ka$ give rise to `similar' graphs, and, given a real-world network, how `similar' is it to a typical graph $G(n,\ka)$ derived from a given kernel $\ka$. The analogous questions for dense graphs, with $Θ(n^2)$ edges, are answered by recent results of Borgs, Chayes, Lovász, Sós, Szegedy and Vesztergombi, who showed that several natural metrics on graphs are equivalent, and moreover that any sequence of graphs converges in each metric to a graphon, i.e., a kernel taking values in $[0,1]$. Possible generalizations of these results to graphs with $o(n^2)$ but $ω(n)$ edges are discussed in a companion paper [arXiv:0708.1919]; here we focus only on graphs with $Θ(n)$ edges, which turn out to be much harder to handle. Many new phenomena occur, and there are a host of plausible metrics to consider; many of these metrics suggest new random graph models, and vice versa.

研究动机与目标

• 理解在何种条件下不同的核函数会产生‘相似’的边数为 Θ(n) 的稀疏图。
• 评估真实世界网络与给定核函数 κ 的随机图模型 G(n,κ) 之间的相似程度。
• 将稠密图（边数为 Θ(n²)）中图度量的等价性扩展至稀疏情形（边数为 Θ(n)），而标准工具在此处失效。
• 开发能够生成具有任意度分布和局部结构的图的新随机图模型，尤其在极稀疏情况下。
• 研究在 d_loc 和 d_cn 等度量下，柯西序列是否可由显式随机图模型实现。

提出的方法

• 通过归一化 p(n) = 1/n，将三种关键图度量——割度量 d_cut、子图（计数）度量 d_sub 和划分度量 d_part——适配至稀疏图。
• 通过将 [0,1] 划分为 n 个长度为 1/n 的区间，并在边指示块上赋值 1/p = n，为图 G_n 定义其有限类型核 κ_Gn。
• 引入随机图模型 G(n, (κ_F))，其中每个连通图 F 在 [0,1]^{|F|} 上贡献一个核 κ_F，且 F 的副本以概率 κ_F(x_v1,…,x_vk)/n^{k-1} 被添加。
• 提出一种新模型 T(n,d)，即基于三角形的配置模型，其中每个顶点有 d 根悬突，悬突被随机配对为三元组以形成三角形。
• 分析 T(n,d) 的局部极限为无限三角形树，表明典型顶点的度数为 2d，且位于 d 个边不相交的三角形中。
• 利用核的保测重排定义等价类（κ ≈ κ'），并研究此类变换下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边数为 Θ(n) 的稀疏情形下，标准图度量（d_cut、d_sub、d_part）是否如在稠密情形中一样等价？
• RQ2 每个在 d_loc 或 d_cn 下的柯西序列是否都可由具有明确定义核族的随机图模型实现？
• RQ3 现有模型如 G(n,κ) 和 G(n,(κ_F)) 在极稀疏情形下，其在捕捉任意度分布方面存在哪些局限性？
• RQ4 在稀疏图度量下，局部与全局图结构在极限下如何相互作用？
• RQ5 能否构造新的随机图模型以实现任意局部极限，例如 T(n,d) 中的无限三角形树？

主要发现

• 稠密图（边数为 Θ(n²)）中观察到的图度量等价性无法推广至边数为 Θ(n) 的稀疏情形，后者展现出新现象。
• 当 p=1/n 时，随机图模型 G(n,κ) 生成的图基本无环，因此不适合用于建模一般稀疏网络。
• 模型 G(n,(κ_F)) 生成边数为 Θ(n) 且任意固定图 F 的副本数为 Θ(n) 的图，但其度分布为复合泊松分布的混合，限制了其生成正则图的能力。
• 所提出的模型 T(n,d) 生成多重图，其中每个顶点的度数为 2d，且位于 d 个边不相交的三角形中，且以正概率为简单图，该概率有正的下界。
• T(n,d) 的局部极限为无限三角形树，表明此类模型可在极稀疏情形下实现特定的局部结构。
• 若要回答问题 8.1 中关于 d_loc 或 d_cn 的问题，不仅需要理解度分布，还需掌握局部与全局结构的完整组合，这仍是重大开放挑战。