[论文解读] The Class of Random Graphs Arising from Exchangeable Random Measures

Victor Veitch, Daniel M. Roy|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 37被引用 72

一句话总结

本文提出了一类基于可交换随机测度的随机图的一般类，其特征由图核（I, S, W）表征，该图核推广了稠密可交换图与稀疏模型。通过Kallenberg的框架建立了表示定理，使得对具有稀疏性、重尾分布和小世界特性的现实世界网络能够实现可处理的建模。

ABSTRACT

We introduce a class of random graphs that we argue meets many of the desiderata one would demand of a model to serve as the foundation for a statistical analysis of real-world networks. The class of random graphs is defined by a probabilistic symmetry: invariance of the distribution of each graph to an arbitrary relabelings of its vertices. In particular, following Caron and Fox, we interpret a symmetric simple point process on $\mathbb{R}_+^2$ as the edge set of a random graph, and formalize the probabilistic symmetry as joint exchangeability of the point process. We give a representation theorem for the class of random graphs satisfying this symmetry via a straightforward specialization of Kallenberg's representation theorem for jointly exchangeable random measures on $\mathbb{R}_+^2$. The distribution of every such random graph is characterized by three (potentially random) components: a nonnegative real $I \in \mathbb{R}_+$, an integrable function $S: \mathbb{R}_+ o \mathbb{R}_+$, and a symmetric measurable function $W: \mathbb{R}_+^2 o [0,1]$ that satisfies several weak integrability conditions. We call the triple $(I,S,W)$ a graphex, in analogy to graphons, which characterize the (dense) exchangeable graphs on $\mathbb{N}$. Indeed, the model we introduce here contains the exchangeable graphs as a special case, as well as the "sparse exchangeable" model of Caron and Fox. We study the structure of these random graphs, and show that they can give rise to interesting structure, including sparse graph sequences. We give explicit equations for expectations of certain graph statistics, as well as the limiting degree distribution. We also show that certain families of graphexes give rise to random graphs that, asymptotically, contain an arbitrarily large fraction of the vertices in a single connected component.

研究动机与目标

• 开发一种统计上合理的框架，用于建模稀疏、异质且具有复杂结构（如幂律度分布和小世界特性）的现实世界网络。
• 通过基于基本对称性（顶点重标记不变性）的建模，弥补现有统计网络分析中缺乏通用、可处理且灵活的模型的不足。
• 利用可交换随机测度，将稠密可交换图模型与稀疏模型（如Caron-Fox模型）统一于同一理论框架之下。
• 基于Kallenberg的联合可交换随机测度理论，为这类随机图提供表示定理。
• 通过一组最小化组件——图核（I, S, W）——表征图的分布，从而实现统计推断。

提出的方法

• 通过在ℝ₊²上定义一个对称的简单点过程来定义随机图，将其解释为边集，且其分布对任意顶点重标记保持不变（即满足可交换性）。
• 应用Kallenberg关于联合可交换随机测度的表示定理，推导出此类图分布的规范形式。
• 通过三元组（I, S, W）表征该类中每个图的分布：一个非负常数I，一个函数S:ℝ₊→ℝ₊，以及一个对称可测函数W:ℝ₊²→[0,1]，并满足弱可积性条件。
• 证明该模型既包含通过图子（graphons）表征的稠密可交换图，也包含稀疏模型（如Caron-Fox模型）作为特例。
• 利用图核组件推导出边数的期望值与极限度分布的显式表达式。
• 提出一种子图采样方案，其生成的图是KEGs，暗示了用于估计与模型拟合的实证图核的构建路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一类满足可交换性（即对顶点重标记不变）且能捕捉稠密与稀疏网络结构的通用随机图类？
• RQ2 此类可交换随机图的完整概率表示是什么？其分布如何通过可处理的参数表征？
• RQ3 图核组件（I, S, W）与边密度、度分布和连通性等结构特性之间有何关系？
• RQ4 何种采样机制能从有限网络中生成KEGs？这如何指导实证模型拟合与估计？
• RQ5 该框架与现有理论（如图极限理论，例如L^p图子）及稠密可交换图框架有何关联？

主要发现

• 通过可交换随机测度定义的随机图类，可通过图核（I, S, W）表示，该图核完全表征了图的分布。
• 该模型统一了稠密可交换图（通过图子）与稀疏模型（如Caron-Fox模型），实现了两者的理论统一。
• 基于图核模型的图的期望边数由涉及I、S和W的显式积分表达式给出，支持统计推断。
• 极限度分布以闭式形式推导得出，表明在W的适当选择下，该模型可产生类似幂律的度分布。
• 某些图核族可生成图，其渐近性质为：孤立顶点的比例趋于零，且存在一个正比例的顶点聚集于单一连通分量中。
• 提出一种采样方案：通过泊松分布采样、均匀抽取顶点所诱导的子图可生成KEGs，暗示了实证图核估计的可行路径。