[论文解读] Sparse Output Feedback Synthesis via Proximal Alternating Linearization Method

Fu Xun Lin, Veronica Adetola|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出一种近端交替线性化方法（PALM），用于协同设计稀疏静态输出反馈控制器与行/列稀疏输出矩阵，在对反馈增益和输出矩阵均施加稀疏性约束的前提下，最小化闭环性能。该方法确保全局收敛并实现目标函数的单调递减，在包含60,000个设计变量的不稳定系统上得到验证，且在Kurdyka-Łojasiewicz条件下保证收敛。

ABSTRACT

We consider the co-design problem of sparse output feedback and row/column-sparse output matrix. A row-sparse (resp. column-sparse) output matrix implies a small number of outputs (resp. sensor measurements). We impose row/column-cardinality constraint on the output matrix and the cardinality constraint on the output feedback gain. The resulting nonconvex, nonsmooth optimal control problem is solved by using the proximal alternating linearization method (PALM). One advantage of PALM is that the proximal operators for sparsity constraints admit closed-form expressions and are easy to implement. Furthermore, the bilinear matrix function introduced by the multiplication of the feedback gain and the output matrix lends itself well to PALM. By establishing the Lipschitz conditions of the bilinear function, we show that PALM is globally convergent and the objective value is monotonically decreasing throughout the algorithm. Numerical experiments verify the convergence results and demonstrate the effectiveness of our approach on an unstable system with 60,000 design variables.

研究动机与目标

• 协同设计稀疏静态输出反馈增益与稀疏输出矩阵，以降低控制系统的传感器与通信成本。
• 对输出矩阵施加行或列基数约束，并对反馈增益施加稀疏性，以直接控制传感器数量与通信链路数。
• 利用近端交替线性化方法（PALM）求解由此产生的非凸、非光滑最优控制问题。
• 通过证明双线性矩阵函数的Lipschitz连续性，并在Kurdyka-Łojasiewicz条件下，建立PALM的全局收敛性。
• 在包含60,000个设计变量的大规模不稳定系统上对方法进行数值验证。

提出的方法

• 使用近端交替线性化方法（PALM）求解涉及反馈增益与输出矩阵乘积所产生的双线性矩阵项的非凸、非光滑优化问题。
• 通过在反馈增益 $ K $ 上施加基数约束，并在输出矩阵 $ C $ 上施加行/列稀疏性，实现稀疏性控制，且其近端算子具有闭式解，便于高效实现。
• 利用双线性结构 $ F = KC $，通过近端更新交替最小化目标函数关于 $ K $ 和 $ C $ 的部分。
• 通过证明双线性函数 $ H(K,C) = KC $ 在适当范数下具有Lipschitz连续性，建立全局收敛性。
• 在PALM框架中应用Kurdyka-Łojasiewicz（KL）性质，以保证当性能指标 $ J $ 满足KL条件时，收敛至临界点。
• 在PALM框架中采用线搜索策略，确保每次迭代中目标函数充分下降。

实验结果

研究问题

• RQ1 PALM能否在非凸、非光滑最优控制设置下有效应用于协同设计稀疏输出反馈与稀疏输出矩阵？
• RQ2 PALM算法是否能保证在施加稀疏性约束的协同设计问题中实现全局收敛？
• RQ3 PALM在大规模系统（如具有60,000个设计变量的系统）上的收敛行为如何？
• RQ4 双线性矩阵函数 $ F = KC $ 如何影响PALM的收敛特性？
• RQ5 在何种条件下，PALM会收敛至最优控制问题的临界点？

主要发现

• 通过证明双线性矩阵函数 $ H(K,C) = KC $ 的Lipschitz连续性，PALM在稀疏输出反馈协同设计问题中实现全局收敛。
• PALM迭代过程中目标函数值单调递减，证实了其下降行为。
• 在Kurdyka-Łojasiewicz（KL）性质下，PALM收敛至优化问题的临界点。
• 数值实验验证了PALM在具有60,000个设计变量的大规模不稳定系统上的收敛行为。
• 该方法通过协同设计稀疏输出矩阵与稀疏反馈增益，成功平衡了传感器数量与通信链路数。
• 针对稀疏性约束的近端算子具有闭式解，从而实现高效且可扩展的实现。