[论文解读] Sparsity Measures for Spatially Decaying Systems

Nader Motee, Qiyu Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用 2

一句话总结

本文通过使用空间衰减矩阵的拟巴拿赫代数，引入面向系统的稀疏性度量，研究空间衰减系统，证明了二次最优状态反馈控制器由于这些矩阵代数的反演封闭性特性，本质上是稀疏且空间局域化的。该框架量化了分布式系统中的稀疏性与局域化程度，并在随机生成的电力网络上得到验证。

ABSTRACT

We consider the omnipresent class of spatially decaying systems, where the sensing and controls is spatially distributed. This class of systems arises in various applications where there is a notion of spatial distance with respect to which couplings between the subsystems can be quantified using a class of coupling weight functions. We exploit spatial decay property of the dynamics of the underlying system in order to introduce system-oriented sparsity measures for spatially distributed systems. We develop a new mathematical framework, based on notions of quasi-Banach algebras of spatially decaying matrices, to relate spatial decay properties of spatially decaying systems to sparsity features of their underlying information structures. Moreover, we show that the inverse-closedness property of matrix algebras plays a central role in exploiting various structural properties of spatially decaying systems. We show that the quadratically optimal state feedback controllers for spatially decaying systems are sparse and spatially localized in the sense that they have near-optimal sparse information structures. Finally, our results are applied to quantify sparsity and spatial localization features of a class of randomly generated power networks. © 2014 American Automatic Control Council.

研究动机与目标

• 开发一种数学框架，用于量化具有衰减耦合的空间分布系统的稀疏性与空间局域化。
• 利用系统动态的空间衰减特性，基于矩阵代数结构定义面向系统的稀疏性度量。
• 阐明矩阵代数中反演封闭性在保持空间衰减系统结构特性方面的作用。
• 证明此类系统的二次最优状态反馈控制器本质上是稀疏且空间局域化的。
• 将该框架应用于一类随机生成的电力网络，以量化稀疏性与局域化程度。

提出的方法

• 通过基于空间距离量化子系统相互作用的耦合权重函数，形式化空间衰减系统。
• 构建空间衰减矩阵的拟巴拿赫代数框架，以建模系统动态与信息结构。
• 利用矩阵代数的反演封闭性特性，确保系统表示中结构稳定性与稀疏性得以保持。
• 推导出二次最优状态反馈控制器从系统衰减结构继承稀疏性与空间局域化的条件。
• 将理论框架应用于一类随机生成的电力网络，以量化稀疏性与局域化度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用系统耦合的空间衰减特性，正式测量空间分布系统中的稀疏性？
• RQ2 矩阵代数的反演封闭性在保持系统表示中的稀疏性与局域化方面起到什么作用？
• RQ3 空间衰减系统的二次最优状态反馈控制器是否本质上是稀疏且空间局域化的？
• RQ4 所提出的框架在多大程度上能够量化现实世界网络化系统（如电网）中的稀疏性与空间局域化？
• RQ5 基于空间距离的耦合权重函数如何影响系统信息与控制律的稀疏性结构？

主要发现

• 所提出的框架通过利用拟巴拿赫代数中空间衰减矩阵的代数结构，实现了面向系统的稀疏性度量。
• 矩阵代数的反演封闭性确保了在矩阵求逆与系统运算下，稀疏性与局域化等结构特征得以保持。
• 研究证明，空间衰减系统的二次最优状态反馈控制器本质上是稀疏且空间局域化的，且具有近似最优的信息结构。
• 该框架成功量化了一类随机生成电力网络中的稀疏性与空间局域化程度，展示了其实际适用性。
• 基于空间距离的耦合权重函数直接决定了衰减模式，从而决定了系统信息结构的稀疏特性。