[论文解读] Spatial Populations with seed-bank: renormalisation on the hierarchical group

Andreas Greven, Frank den Hollander+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文研究了在分层群 ΩN 上具有种子库的空间种群模型，其中个体通过分层核在不同群体间迁移，并以与颜色相关的再激活速率进入休眠状态。通过多尺度重整化方法，证明在大 N 极限下，重标度后的块平均动力学普遍收敛至 Fisher-Wright 扩散，且与无种子库的情形相比，种子库会减缓聚类的增长速度。

ABSTRACT

We consider a system of interacting diffusions labeled by a geographic space that is given by the hierarchical group $Ω_N$ of order $N\in\mathbb{N}$. Individuals live in colonies and are subject to resampling and migration as long as they are active. Each colony has a seed-bank into which individuals can retreat to become dormant, suspending their resampling and migration until they become active again. The migration kernel has a hierarchical structure: individuals hop between colonies at a rate that depends on the hierarchical distance between the colonies. The seed-bank has a layered structure: when individuals become dormant they acquire a colour that determines the rate at which they become active again. The latter allows us to model seed-banks whose wake-up times have a fat tail. We analyse a system of coupled stochastic differential equations that describes the population in the large-colony-size limit. For fixed $N\in\mathbb{N}$, the system exhibits a dichotomy between coexistence and clustering. We identify the range of parameters controlling the migration and the seed-bank for which clustering prevails. We carry out a multi-scale renormalisation analysis in the hierarchical mean-field limit $N o\infty$. We show that block averages on hierarchical space-time scale $k \in \mathbb{N}$ perform a diffusion with a renormalised diffusion function that depends on $k$. In the clustering regime, after an appropriate scaling with $k$, this diffusion function converges to the Fisher-Wright diffusion function as $k o\infty$, irrespective of the diffusion function controlling the resampling. For several subclasses of parameters we identify the speed at which the scaled renormalised diffusion function converges to the Fisher-Wright diffusion as $k o\infty$. We show that the seed-bank reduces the speed compared to the model without seed-bank.

研究动机与目标

• 分析在分层群 ΩN 上具有分层种子库的空间种群模型中的聚类行为。
• 识别系统表现出单型平衡态（聚类）与多型平衡态（共存）的条件。
• 在 N → ∞ 的分层平均场极限下进行多尺度重整化分析。
• 建立标度极限的普遍性，证明无论重抽样扩散函数为何，系统均收敛至 Fisher-Wright 扩散。
• 量化种子库相较于无种子库模型，如何减缓单型聚类在空间与时间上的增长速度。

提出的方法

• 将系统建模为在分层群 ΩN 上的种群密度耦合随机微分方程组。
• 使用依赖于群体间分层距离的分层迁移核。
• 引入分层种子库，其中休眠个体被赋予颜色以决定其再激活速率，从而实现重尾唤醒时间。
• 应用有限系统方案与对偶性，证明适定性并分析平衡态。
• 通过在分层时空尺度 k ∈ ℕ 上考虑块平均，执行多尺度重整化分析。
• 证明在尺度 k 上的重整化扩散函数在 k → ∞ 时收敛至 Fisher-Wright 扩散，从而确立普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数范围内，系统表现出聚类（单型平衡态）而非共存（多型平衡态）？
• RQ2 分层种子库结构如何影响大尺度动力学及空间聚类的出现？
• RQ3 在分层平均场极限 N → ∞ 下，块平均过程的标度极限是什么？
• RQ4 在大尺度极限下，系统是否普遍收敛至 Fisher-Wright 扩散，无论重抽样扩散函数如何？
• RQ5 种子库的存在如何影响空间与时间上单型聚类的增长速度？

主要发现

• 系统在共存与聚类之间呈现二象性，且在特定迁移与种子库结构的参数范围内，聚类占主导地位。
• 来自 [GHO20] 的必要且充分聚类判据可普遍适用于具有离散拓扑的可数阿贝尔群。
• 在大 N 极限下，分层尺度 k 上的重整化扩散函数在 k → ∞ 时收敛至 Fisher-Wright 扩散，证明了完全的普遍性。
• 收敛至 Fisher-Wright 扩散的速度取决于迁移与种子库的参数，而该速度决定了单型聚类的增长速率。
• 由于迁移与休眠动力学之间精巧的相互作用，种子库相较于无种子库模型会减缓聚类增长速度。
• 对于若干参数子类，本文确定了重整化扩散函数收敛至 Fisher-Wright 形式的精确收敛速率，从而量化了种子库的减速效应。