[论文解读] Spatial rough path lifts of stochastic convolutions

Peter K. Friz, Benjamin Gess+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了具有平稳增量的高斯过程协方差的有限可控ρ-变差的充分条件，利用其方差函数的凹性或凸性。这些条件使得能够为具有空间变量加性噪声（可能为色噪声）的分数阶随机热方程的解构造空间粗糙路径提升，从而扩展了粗糙路径理论的最新进展。

ABSTRACT

We present sufficient conditions for finite controlled rho-variation of the covariance of Gaussian processes with stationary increments, based on concavity or convexity of their variance function. The motivation for this type of conditions comes from recent work of Hairer [CPAM,2011]. Our results allow to construct rough paths lifts of solutions to a class of fractional stochastic heat equations with additive, possibly colored Wiener noise with respect to their space variable.

研究动机与目标

• 确定具有平稳增量的高斯过程的方差函数的充分条件，以确保其协方差的有限可控ρ-变差。
• 将粗糙路径理论的应用范围扩展至具有时空噪声的随机PDE。
• 为构造分数阶随机热方程解的粗糙路径提升提供理论基础。
• 通过路径积分方法解决空间变量中色维纳噪声处理的挑战。

提出的方法

• 分析具有平稳增量的高斯过程的方差函数，以确定其凹性或凸性特征。
• 推导出保证协方差函数有限可控ρ-变差的方差函数的充分条件。
• 将这些条件应用于分数阶随机热方程解过程的协方差结构。
• 利用所得的ρ-变差控制，构造解过程的空间粗糙路径提升。
• 利用粗糙路径理论的最新理论进展，特别是Hairer（2011）的成果，以证明提升构造的合理性。
• 确保该方法在噪声为色噪声（而不仅是时空白噪声）时依然适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种方差函数条件下，具有平稳增量的高斯过程的协方差函数具有有限可控ρ-变差？
• RQ2 方差函数的凹性或凸性如何用于控制过程的粗糙路径特性？
• RQ3 能否为具有加性、可能为色噪声的时空噪声的分数阶随机热方程的解构造粗糙路径提升？
• RQ4 协方差的ρ-变差在实现此类SPDE的路径积分解构造中起什么作用？
• RQ5 该方法如何扩展或推广先前在SPDE粗糙路径理论中的结果？

主要发现

• 若方差函数为凹或凸（取决于参数区域），则协方差函数的有限可控ρ-变差可得到保证。
• 对方差函数施加的充分条件使得能够构造解过程的空间粗糙路径提升。
• 该方法适用于在空间中为色噪声（而不仅是空间白噪声）的分数阶随机热方程。
• 结果将Hairer的框架推广至SPDE中更广泛的高斯噪声过程类别。
• 该方法使得在传统伊藤或斯特拉托诺维奇积分可能不足时，实现SPDE的路径积分解构造。