[论文解读] Special Bohr - Sommerfeld geometry

Nikolai Andreevich Tyurin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入了特殊的博尔-索末菲（SBS）拉格朗日子流形——满足博尔-索末菲条件与与全纯截面相关的新型特殊性条件的拉格朗日循环，从而得到有限维的模空间。对于带有线丛 O(1,1) 的二次曲面三fold，模空间同构于 ℂℙ³∖Q′，并通过 ℂℙ³ 自然紧化，为通过与量子化相容的结构实现镜像对称提供了新的几何框架。

ABSTRACT

We present a new approach to special lagrangian geometry which works for Bohr - Sommerfeld lagrangian submanifolds of symplectic manifolds with integer symplectic forms. This leads to construction of finite dimensional moduli spaces of SBS lagrangian cycles over algebraic varieties.

研究动机与目标

• 通过引入新的有限性条件，解决镜像对称中拉格朗日子流形模空间无限的问题。
• 通过预量化的拉格朗日子流形上的新特殊性条件，统一博尔-索末菲与特殊拉格朗日几何。
• 构建与几何量子化和镜像对偶性相容的有限维拉格朗日子流形模空间。
• 提供一个几何设定，使得在模空间上能自然地定义量子线丛与联络，从而支持进一步的量子化。

提出的方法

• 将 SBS 拉格朗日子流形定义为博尔-索末菲子流形，其上固定截面的限制相对于协变常数截面具有恒定辐角。
• 使用预量化的数据：一个具有曲率 2πiω 的赫尔米特线丛 L，通过协变常数截面定义博尔-索末菲条件。
• 在 ℙ(Γ(M,L)) × ℬ_S 中构造关联循环，其中 ℬ_S 是固定拓扑类型的博尔-索末菲拉格朗日子流形的模空间。
• 为 SBS 循环的模空间配备张量积线丛 E = p₁*𝒪(1) ⊗ p₂*L，其上赋予由曲率形式和 U(1)-不变水平提升导出的埃尔米特联络 A。
• 利用相容的复结构和黎曼度量，定义线丛 ℒ 上的典范水平分布，从而在 ℬ_S 上定义良好定义的联络 A_I。
• 研究 E 上总联络 𝔸 的曲率，以判断其是否与凯勒形式成比例，这是几何量子化的一个关键条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在拉格朗日子流形上施加新的有限性条件，以在辛几何中稳定其模空间？
• RQ2 博尔-索末菲条件与基于截面的特殊性条件之间的相互作用，如何约束拉格朗日循环的几何结构？
• RQ3 对于特定代数曲面（如二次曲面三fold）而言，特殊博尔-索末菲拉格朗日子流形的模空间结构如何？
• RQ4 SBS 拉格朗日子流形的模空间能否自然紧化？其几何结构为何？
• RQ5 模空间上诱导的联络的曲率是否与凯勒形式成比例？这是否能实现完整的几何量子化框架？

主要发现

• 对于具有 O(1,1) 的二次曲面三fold Q 与同构于 S² 的类为 (1,-1) 的 S，模空间 ℳ_SBS 同构于 ℂℙ³∖Q′，其中 Q′ 为射影对偶二次曲面。
• 模空间 ℳ_SBS 具有自然紧化，同构于 ℂℙ³，表明其具有完整的几何结构。
• 关联循环 𝒰_SBS 嵌入于 ℙ(Γ(M,L)) × ℬ_S 中，参数化对 (s, S)，其中 s 为截面，S 为 SBS 拉格朗日子流形。
• 通过沿关联循环对预量化的线丛进行直接像构造，得到 ℬ_S 上的自然线丛 ℒ，其上赋予 U(1)-不变联络 A_I。
• 在 ℳ_SBS 上的张量积丛 E 上的总联络 𝔸 结合了 𝒪(1) 和 A_I 的曲率，其曲率是否与凯勒形式成比例仍在研究中。
• 该框架提示了一条通往模空间上几何量子化的路径，前提是 𝔸 的曲率与凯勒形式成比例，这一条件目前正处于积极研究中。