[论文解读] Special L-values of geometric motives

Jakob Scholbach|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一个关于整数环上几何动机的特殊L值的统一猜想，通过动机上同调的负欧拉示性数 M∨(−1) 联系了贝林森、泰特和苏勒的猜想。该猜想在塔特定理和阿廷-塔特定理的情形下无条件成立，表明 L*(M,0) 仅在有理数因子意义下由动机同调与上同调之间的阿凯洛夫交配对的行列式唯一确定。

ABSTRACT

This paper proposes a conjecture on special values of L-functions of geometric motives over Z. This includes L-functions of mixed motives over Q and Hasse-Weil zeta-functions of schemes over Z. We conjecture the following: the order of L(M, s) at s=0 is given by the negative Euler characteristic of motivic cohomology of $M^\vee(-1)$. Up to a nonzero rational factor, the L-value at s=0 is given by the determinant of the pairing of Arakelov motivic cohomology of M with the motivic homology of M. Under standard assumptions concerning mixed motives over Q, $F_p$, and Z, this conjecture is essentially equivalent to the conjunction of Soulé's conjecture about pole orders of zeta-functions of schemes over Z, Beilinson's conjecture about special L-values for motives over Q and the Tate conjecture over $F_p$.

研究动机与目标

• 将贝林森关于特殊L值的猜想、Fp上的泰特猜想以及苏勒关于zeta函数极点阶数的猜想，统一为Z上动机的单一框架。
• 提出一个关于L(M,s)在s=0处阶数的猜想公式，该公式以M∨(−1)的动机上同调的负欧拉示性数表示。
• 将特殊L值L*(M,0)表示为动机同调与阿凯洛夫动机上同调之间阿凯洛夫交配对的逆行列式的有理数因子倍。
• 在混合动机结构与实现函子的基础上，无条件证明该猜想对塔特定理成立，并对阿廷-塔特定理成立至多一个有理数的n次根。

提出的方法

• 猜想L(M,s)在s=0处的阶数等于M∨(−1)的动机上同调的负欧拉示性数，即 ord_{s=0}L(M,s) = −χ(M∨(−1))。
• 引入阿凯洛夫交配对 π_M: H_{-2}(M,−1) × ŝH^0(M) → ℝ，猜想其为有限维ℝ-向量空间之间的完美配对。
• 定义移位配对 π_{M[i]} 的行列式乘积为 Π_M := ∏_i det(π_{M[i]})^{(-1)^i} ∈ ℝ×/ℚ×。
• 利用陈类映射 ch: H^n(M) → H^n_D(M) 将动机上同调与德利涅上同调联系起来，通过长正合列刻画阿凯洛夫动机上同调。
• 在标准动机范畴假设下，建立该猜想与贝林森、苏勒及泰特猜想的合取等价。
• 利用由数环与有限域动机生成的三角子范畴，无条件证明该猜想对塔特定理成立，并对阿廷-塔特定理成立至多一个有理数的n次根。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝林森关于特殊L值的猜想能否通过涉及动机上同调的单一公式，与泰特和苏勒猜想统一？
• RQ2 动机同调与阿凯洛夫动机上同调之间的阿凯洛夫交配对是否为几何动机 over Z 的完美配对？
• RQ3 特殊L值L*(M,0)是否等于阿凯洛夫配对的逆行列式，至多一个非零有理数因子？
• RQ4 该猜想在塔特定理与阿廷-塔特定理情形下无条件成立的范围有多大？
• RQ5 Z上动机的L函数极点阶数与M∨(−1)的动机上同调的欧拉示性数之间有何关系？

主要发现

• 对于所有Z上的塔特定理，猜想 ord_{s=0}L(M,s) = −χ(M∨(−1)) 无条件成立。
• 对于所有Z上的阿廷-塔特定理，该猜想成立至多一个非零有理数的n次根。
• 阿凯洛夫交配对 π_M 被猜想为完美配对，且该条件等价于贝林森-苏勒消去与贝林森-帕尔辛猜想。
• 特殊L值L*(M,0) 模有理数乘法群 ℚ× 等于行列式乘积 Π_M 的逆，即 L*(M,0) ≡ Π_M^{-1} (mod ℚ×)。
• 对于任意光滑射影概形 X/ℚ，若其上同调 h^j(X_η) 为混合塔特动机，则贝林森猜想无条件成立。
• 在标准动机假设下，该猜想蕴含了F_p上光滑射影概形的泰特猜想，通过数值等价与同调等价的等价性。