[论文解读] Special Lagrangians and Lagrangian self-similar solutions in cones over toric Sasaki manifolds

Hikaru Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文在环状 Sasaki 流形上的 Calabi–Yau 锥上构造了特殊拉格朗日子流形及拉格朗日自相似解的显式例子。通过使用环状几何框架和在 8 个多面体区域副本上的粘合构造，对每个亏格 $ g \geq 1 $，构造出一个 6 维的 Calabi–Yau 锥 $ M_g $，其中包含一个微分同胚于 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 的 3 维特殊拉格朗日子流形，以及一个微分同胚于 $ \Sigma_g \times S^1 $ 的紧致拉格朗日自相似解。

ABSTRACT

We construct some examples of special Lagrangian submanifolds and Lagrangian self-similar solutions in almost Calabi-Yau cones over toric Sasaki manifolds. For example, for any integer g>0, we can construct a real 6 dimensional Calabi-Yau cone M_g and a 3 dimensional special Lagrangian submanifold L^1_g in M_g which is diffeomorphic to the product of a closed surface of genus g and the real line R, and a 3 dimensional compact Lagrangian self-shrinker L^2_g in M_g which is diffeomorphic to the product of the closed surface of genus g and a circle S^1.

研究动机与目标

• 解决在环状 Sasaki 流形上的几乎 Calabi–Yau 锥中构造特殊拉格朗日子流形及拉格朗日自相似解的问题。
• 将已知的在 $ \mathbb{C}^m $ 中的特殊拉格朗日子流形结果以及在 $ \mathbb{R}^m $ 中的自相似解结果，推广至环状 Calabi–Yau 锥的设定中。
• 提供具有受控拓扑结构的显式几何例子，包括非紧致的特殊拉格朗日子流形与紧致的自相似解。
• 建立一种通过环状数据关联的多面体区域粘合来构造此类解的方法。
• 探讨平均曲率流与自相似解在拉格朗日几何奇点中的渐近模型作用。

提出的方法

• 利用锥构造 $ C(S) = S \times \mathbb{R}^+ $，其度量为 $ \overline{g} = r^2 g + dr^2 $，在环状 Sasaki 流形 $ S $ 上定义自然的 $ \mathbb{R}^+ $-作用与位置向量场 $ \overrightarrow{p} = r \frac{\partial}{\partial r} $。
• 通过条件 $ H = \lambda \overrightarrow{F}^\perp $ 定义锥中的自相似解，其中 $ H $ 为平均曲率向量，$ \lambda \in \mathbb{R} $ 为常数。
• 利用势函数与环状数据在环状凯勒锥中构造拉格朗日子流形，当典范丛平凡时施加特殊拉格朗日条件。
• 通过在 8 个多面体区域 $ \Delta_{\zeta,c} $ 的副本之间进行粘合，使用符号三元组 $ (\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3) \in \{ \pm 1 \}^3 $ 标记，以模拟 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 与 $ \Sigma_g \times S^1 $ 的拓扑结构。
• 利用对数变换 $ x_i \mapsto -\log|x_i| $ 将代数环状结构与多面体区域关联，从而构造出趋近于对应环状除子的面的曲线。
• 通过验证拉格朗日相位的消失与平均曲率条件，确认所得浸入子流形为拉格朗日子流形，并满足特殊拉格朗日或自相似条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在环状 Sasaki 流形上的 Calabi–Yau 锥中系统地构造特殊拉格朗日子流形？
• RQ2 在这些锥中，作为特殊拉格朗日子流形或自相似解出现的拉格朗日子流形具有何种拓扑类型？
• RQ3 能否利用环状几何在高维 Calabi–Yau 锥中构造紧致的拉格朗日自相似解？
• RQ4 多个多面体区域副本的粘合如何在锥中建模 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 与 $ \Sigma_g \times S^1 $ 的拓扑结构？
• RQ5 位置向量与 $ \mathbb{R}^+ $-作用在将自相似解推广至 $ \mathbb{R}^m $ 之外的设定中起何作用？

主要发现

• 对任意整数 $ g \geq 1 $，构造了一个在环状 Sasaki 流形上的 6 维 Calabi–Yau 锥 $ M_g $。
• 构造了一个微分同胚于 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 的 3 维特殊拉格朗日子流形 $ F^1_g: L^1_g \to M_g $，其中 $ \Sigma_g $ 为亏格 $ g $ 的闭曲面。
• 构造了一个微分同胚于 $ \Sigma_g \times S^1 $ 的紧致拉格朗日自相似解 $ F^2_g: L^2_g \to M_g $，其自相似条件中 $ \lambda < 0 $，即 $ H = \lambda \overrightarrow{F}^\perp $。
• 该构造依赖于将 8 个多面体区域 $ \Delta_{\zeta,c} $ 的副本沿对应环状多面体内法向量的边进行粘合。
• 通过 $ \Delta_{\zeta,c} $-副本的粘合验证了子流形的拓扑结构，其中 $ C(S)^\sigma_{\zeta,c} \cong \Sigma_g $，该结论通过 $ g = 1 $ 与 $ g = 2 $ 的显式示意图得到确认。
• 通过利用对数变换 $ x_i \mapsto -\log|x_i| $ 显式实现例子，将 $ \mathbb{R}^3 $ 中的曲线映射到代数环中的射线，使其趋近于多面体的面，从而建模解的渐近行为。