[论文解读] Special Symplectic Connections

Michel Cahen, Lorenz Schwachhöfer|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文引入了特殊辛联络——具有附加曲率约束的辛、无 torsion 联络——统一了博赫纳-凯勒、博赫纳-双拉格朗日、里奇型及特殊全纯性联络。证明了所有此类联络均可作为抛物接触流形的辛约化而构造，建立了规范的局部等价关系，并实现了对紧致单连通特殊辛流形的分类。

ABSTRACT

By a special symplectic connection we mean a torsion free connection which is either the Levi-Civita connection of a Bochner-Kähler metric of arbitrary signature, a Bochner-bi-Lagrangian connection, a connection of Ricci type or a connection with special symplectic holonomy. A manifold or orbifold with such a connection is called special symplectic. We show that the symplectic reduction of (an open cell of) a parabolic contact manifold by a symmetry vector field is special symplectic in a canonical way. Moreover, we show that any special symplectic manifold or orbifold is locally equivalent to one of these symplectic reductions. As a consequence, we are able to prove a number of global properties, including a classification in the compact simply connected case.

研究动机与目标

• 在单一几何框架下统一不同类别的辛联络——博赫纳-凯勒、博赫纳-双拉格朗日、里奇型及特殊全 holonomy 联络。
• 确立所有特殊辛流形在局部上均可作为抛物接触流形的辛约化而实现。
• 对紧致单连通特殊辛流形证明全局分类结果。
• 阐明李理论结构（特别是 2-可分级李代数与伴随轨道）在构造此类联络中的作用。

提出的方法

• 利用 2-可分级单李代数中极大根向量的伴随轨道构造抛物接触流形。
• 通过一个对称向量场的流实施辛约化，得到具有规范辛结构的流形。
• 将特殊辛联络定义为由此类约化产生的联络，其类型由基础李代数决定。
• 运用全纯性与曲率分解技术，表征里奇型及特殊全 holonomy 联络。
• 通过实与复结构（利用分裂实形式与霍普夫纤维丛）分析全局性质。
• 应用同伦与覆盖空间论证，推导紧致情形下的拓扑障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有特殊辛联络是否都能在局部上实现为抛物接触流形的辛约化？
• RQ2 特殊辛联络与 2-可分级李代数中伴随轨道的几何之间存在何种关系？
• RQ3 紧致单连通流形是否允许存在与复单李代数相关的特殊辛联络？
• RQ4 曲率分解（里奇型、博赫纳型）如何与辛几何中的全纯性与可积性条件相关联？
• RQ5 紧致单连通特殊辛流形会面临何种拓扑障碍？

主要发现

• 每个特殊辛流形或轨道流形在局部上等价于一个抛物接触流形的辛约化。
• 在抛物接触流形的一个开胞腔上，通过一个对称向量场的流进行辛约化，自然赋予其一个特殊辛联络。
• 对于紧致单连通流形，不存在与复单李代数相关的特殊辛联络。
• 李代数的实形式确保实约化产生非紧致流形，若流群非紧致，则与紧致性矛盾。
• 若存在紧致单连通特殊辛流形，则其实流群必须同构于 S¹，这与实形式假设矛盾。
• 特殊辛联络的类型与维度至少为 14 的单 2-可分级李代数之间存在一一对应关系。