[论文解读] Special values of anticyclcotomic Rankin-Selberg L-functions

Ming-Lun Hsieh|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文為環形希爾伯特模形式建立了明確的Waldspurger公式，並構造了希爾伯特模形式的反對稱p進Rankin-Selberg L函數，推廣了此前在橢圓情形下的工作。論文證明了Iwasawa μ不變量消失的必要且充分條件，並在特定CM類型與根數假設下，建立了中央L值在反對稱扭轉下模p的非零性。

ABSTRACT

In this article, we prove an explicit Waldspurger formula for the toric Hilbert modular forms. As an application, we construct a class of anticyclotomic p-adic Rankin-Selberg L-functions for Hilbert modular forms, generalizing the construction of Bertolini, Darmon and Prasanna in the elliptic case. Moreover, building on works of Hida, we give a necessary and sufficient condition when the Iwasawa mu-invariant of this p-adic L-function vanishes and prove a result on the non-vanishing modulo $p$ of central Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists.

研究动机与目标

• 為希爾伯特模形式構造反對稱p進Rankin-Selberg L函數，推廣Bertolini、Darmon與Prasanna在橢圓情形下的構造方法。
• 建立這些p進L函數的Iwasawa μ不變量消失的必要且充分條件。
• 在局部根數與p-正則性條件下，證明中央Rankin-Selberg L值在反對稱扭轉下模p的非零性。
• 將Waldspurger公式推廣至環形希爾伯特模形式的設定。

提出的方法

• 利用週期積分與p進插值，推導出希爾伯特模形式週期的明確Waldspurger公式。
• 透過反對稱扭轉下Rankin-Selberg乘積的中央L值的p進插值，構造p進L函數。
• 應用Hida的p進族與正則自守形式理論，分析所構造的p進L函數的μ不變量。
• 利用局部根數假設與p-正則性條件，確保p進L函數定義良好，並對其μ不變量有良好控制。
• 運用伽羅瓦理論論證與Hecke特徵標同餘，驗證週期模p的非零性。
• 依賴CM類型的識別與反對稱Z_p^{[F:Q]}-擴張的結構，定義p進L函數並分析其Iwasawa不變量。

实验结果

研究问题

• RQ1 希爾伯特模形式的反對稱p進Rankin-Selberg L函數的Iwasawa μ不變量在何種條件下消失？
• RQ2 如何為環形希爾伯特模形式建立明確的Waldspurger公式？
• RQ3 在反對稱設定下，扭轉Rankin-Selberg乘積的中央L值與週期積分之間的精確關係為何？
• RQ4 在給定假設下，中央L值在反對稱扭轉下何時不模p為零？
• RQ5 CM類型的p-正則性條件如何影響p進L函數的構造與性質？

主要发现

• 本文證明了所構造的反對稱p進Rankin-Selberg L函數的Iwasawa μ不變量消失的必要且充分條件，基於某些局部p進L不變量的消失。
• 為環形希爾伯特模形式建立了明確的Waldspurger公式，透過自守形式的p進插值，將中央L值與週期積分聯繫起來。
• 所構造的p進L函數插值了由反對稱Hecke特徵標扭轉的Rankin-Selberg L函數的中央值，將橢圓情形的推廣至希爾伯特模形式。
• 在局部根數在扭轉導子的所有素理想上均為+1的假設下，證明了幾乎所有Hecke特徵標下，中央L值在反對稱扭轉下模p的非零性。
• 證明了在p-正則性假設下，p進L函數定義良好且p進解析，確保了在反對稱塔上存在唯一的p進測度。
• 模p非零性的證明依賴於在Hecke代數模最大理想下驗證Hecke特徵標的伽羅瓦理論條件(H′)，並利用同餘關係。