[论文解读] Spectra of some composition operators and associated weighted composition operators

Paul Bourdon|ArXiv.org|Aug 10, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用 29

一句话总结

本文表征了在 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{U})$ 上，由本质上分式线性自映射诱导的复合算子的谱与紧谱，表明对于抛物型非自同构和双曲型类型，谱与紧谱一致。此外，进一步证明了对于具有此类符号的某些加权复合算子，谱等于紧谱，将已知结果推广至非单值和非解析符号的情形。

ABSTRACT

We characterize the spectrum and essential spectrum of "essentially linear fractional" composition operators acting on the Hardy space H-two of the open unit disc U. When the symbols of these composition operators have Denjoy-Wolff point on the unit circle, the spectrum and essential spectrum coincide. Our work permits us to describe the spectrum and essential spectrum of certain associated weighted composition operators on the Hardy space.

研究动机与目标

• 表征当 $\varphi$ 为本质上分式线性时，$H^2(\mathbb{U})$ 上复合算子 $C_\varphi$ 的谱与紧谱。
• 解决关于双曲型与抛物型复合算子的谱与紧谱是否一致的开放问题。
• 将谱表征结果推广至加权复合算子 $C_{g,\varphi}$，其中 $g$ 有界解析，$\varphi$ 为本质上分式线性。
• 确定在无单值性或边界解析性条件下，扩张型算子的谱圆盘是否完全包含于紧谱中。

提出的方法

• 利用本质上分式线性映射与分式线性映射仅相差一个紧算子的事实，借助后者已知的谱结果。
• 应用 Denjoy-Wolff 定理及 $\varphi$ 的迭代，分析谱行为，特别关注在边界不动点处的行为。
• 利用 Schwarz 导数与共形共轭，通过 M\
• 使用 $C_{g,\varphi}$ 的伴随幂的循环性，证明非紧谱点必为孤立点，若其非孤立则导致矛盾。
• 应用泛函演算与特征函数分析，表明在螺旋集之外的特征值必为非孤立点，使用一参数族函数 $h_t(z) = e^{-t\nu \circ T(z)}$。
• 通过证明任何在紧谱之外的谱点将导致非孤立特征值，从而与谱的结构矛盾，从而建立 $\text{Sp}(C_{g,\varphi}) = \text{Sp}_e(C_{g,\varphi})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由本质上分式线性映射诱导的双曲型或抛物型非自同构复合算子，谱与紧谱是否总是一致？
• RQ2 对于符号为本质上分式线性映射（不一定是单值或在闭单位圆上解析）的扩张型复合算子，谱圆盘中的每个点是否都属于紧谱？
• RQ3 在何种 $g$ 与 $\varphi$ 条件下，加权复合算子 $C_{g,\varphi}$ 的谱等于其紧谱？
• RQ4 本质上分式线性映射的谱结果能否推广至在边界不动点处仅是圆周型的映射？
• RQ5 对于双曲型或抛物型自同构型映射，$C_\varphi$ 的压缩谱是否至多为 $\{0\}$？

主要发现

• 对于本质上分式线性映射的抛物型非自同构类型，谱与紧谱一致，且等于螺旋集 $\{e^{-at}: t \geq 0\}$，其中 $a = \varphi''(\eta)$，$\eta$ 为 Denjoy-Wolff 点。
• 对于双曲型本质上分式线性映射，谱为以原点为中心、半径等于紧谱半径的闭圆盘，且该圆盘中每一点均属于紧谱。
• 对于加权复合算子 $C_{g,\varphi}$，当 $g$ 在 $\overline{\mathbb{U}}$ 上解析，$\varphi$ 为双曲型本质上分式线性映射，且 $g(\eta) \neq 0$ 时，谱与紧谱一致。
• 当 $\varphi$ 为抛物型非自同构类型且 $\text{Re}(\overline{\varphi''(1)}(\mathcal{S}\varphi)(1)) \geq 0$ 时，$C_{g,\varphi}$ 的谱为 $\{2ie^{-2t-it}: t \geq 0\} \cup \{0\}$，且该集合等于紧谱。
• 此类算子的谱半径 $r(C_{g,\varphi})$ 等于紧谱半径 $r_e(C_{g,\varphi})$，意味着谱圆盘完全包含于紧谱中。
• 任何在 $C_{g,\varphi}$ 的紧谱之外的谱点都不可能是孤立的，因为其补集中的特征值将生成一个连续的特征值族，与孤立性矛盾。