[论文解读] Spectra of the subdivision-vertex and subdivision-edge coronae

Pengli Lu, Yufang Miao|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Graph theory and applications参考文献 13被引用 16

一句话总结

本文基于原始图 $G_1$ 和 $G_2$ 的谱，推导出两种新图运算——细分-顶点冠 $G_1 \bigodot G_2$ 和细分-边冠 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$——的邻接矩阵谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱的显式公式。关键贡献在于利用矩阵冠理论和克罗内克积对谱进行完整表征，从而能够构造无限多组同谱图与整谱图，并给出生成树数量与基尔霍夫指数的精确公式。

ABSTRACT

The subdivision graph $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is the graph obtained by inserting a new vertex into every edge of $G$. Let $G_1$ and $G_2$ be two vertex disjoint graphs. The \emph{subdivision-vertex corona} of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\odot G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $|V(G_1)|$ copies of $G_2$, all vertex-disjoint, by joining the $i$th vertex of $V(G_1)$ to every vertex in the $i$th copy of $G_2$. The \emph{subdivision-edge corona} of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\circleddash G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $|I(G_1)|$ copies of $G_2$, all vertex-disjoint, by joining the $i$th vertex of $I(G_1)$ to every vertex in the $i$th copy of $G_2$, where $I(G_1)$ is the set of inserted vertices of $\mathcal{S}(G_1)$. In this paper we determine the adjacency spectra, the Laplacian spectra and the signless Laplacian spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) in terms of the corresponding spectra of $G_1$ and $G_2$. As applications, the results on the spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) enable us to construct infinitely many pairs of cospectral graphs. The adjacency spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) help us to construct many infinite families of integral graphs. By using the Laplacian spectra, we also obtain the number of spanning trees and Kirchhoff index of $G_1\odot G_2$ and $G_1\circleddash G_2$, respectively.

研究动机与目标

• 定义并形式化两种新的图运算——细分-顶点冠与细分-边冠，基于细分图。
• 推导这些新图运算的邻接矩阵谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱的闭式表达式。
• 将谱结果应用于构造无限多组同谱图与整谱图。
• 计算新图生成树数量与基尔霍夫指数的精确公式。
• 建立基于 $G_1$ 和 $G_2$ 谱的 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ 与 $G_1 \bigodot G_2$ 为同谱图或整谱图的条件。

提出的方法

• 将细分-顶点冠 $G_1 \bigodot G_2$ 定义为：通过细分图 $\mathcal{S}(G_1)$，将 $G_1$ 的每个原始顶点与一个 $G_2$ 的副本的所有顶点相连而成的图。
• 通过将 $\mathcal{S}(G_1)$ 中插入的顶点（来自边细分）与一个 $G_2$ 的副本的所有顶点相连，定义细分-边冠 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$。
• 利用矩阵冠函数 $\Gamma_M(x)$ 和克罗内克积技术，分解新图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵。
• 应用谱分解与分块矩阵行列式恒等式，以 $G_1$ 和 $G_2$ 的形式推导出新图的特征多项式。
• 借助正则性假设（如 $G_1$ 正则）简化谱表达式，推导闭式结果。
• 利用推导出的谱公式，通过基于特征值的恒等式计算生成树数量与基尔霍夫指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 细分-顶点冠与细分-边冠的邻接谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱如何用原始图 $G_1$ 和 $G_2$ 的谱表示？
• RQ2 $G_1 \bigodot G_2$ 与 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ 在何种条件下产生同谱图？
• RQ3 谱公式能否用于生成无限多组整谱图？
• RQ4 $G_1 \bigodot G_2$ 与 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ 的生成树数量与基尔霍夫指数的精确公式是什么？
• RQ5 $G_1$ 的正则性如何影响谱分解与最终公式？

主要发现

• 细分-顶点冠 $G_1 \bigodot G_2$ 的邻接谱完全由 $G_1$ 和 $G_2$ 的谱决定，其特征值通过矩阵冠函数与克罗内克积推导得出。
• 细分-边冠 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ 的拉普拉斯谱由包含 $x-2-n_2 - \frac{1}{x-1} \text{Tr}(\text{resolvent of } L(G_2))$ 的乘积项，以及来自 $G_1$ 和 $G_2$ 的特征值构成。
• 细分-边冠 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ 的生成树数量为 $t(G_1 \bigcirc\bigcirc G_2) = \frac{2^{m_1 - n_1} (2 + r_1 + r_1 n_2)^{n_1} t(G_1) \textstyle\bigotimes_{i=2}^{n_2} (\nu_i(G_2) + 1)^{m_1}}{n_1 + m_1 + m_1 n_2}$，其中 $G_1$ 为 $r_1$-正则图。
• 细分-边冠 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ 的基尔霍夫指数表示为 $Kf(G_1 \bigcirc\bigcirc G_2) = (m_1(1+n_2)+n_1) \times \big( \frac{(3+n_2)m_1 - (n_2+1)n_1 - 2}{2} + \frac{3 + r_1 + n_2}{2 + r_1 + r_1 n_2} + \frac{2 + r_1 + r_1 n_2}{n_1} Kf(G_1) + \textstyle\bigotimes_{i=2}^{n_2} \frac{m_1}{1 + \nu_i(G_2)} \big)$。
• 若 $G_1$ 与 $G_2$ 是 $L$-同谱正则图，则对任意图 $H$，有 $G_1 \bigcirc\bigcirc H$ 与 $G_2 \bigcirc\bigcirc H$ 为 $L$-同谱图。
• 若 $G$ 为正则图，且 $H_1$ 与 $H_2$ 为 $Q$-同谱图且具有相同的矩阵冠函数，则 $G \bigcirc\bigcirc H_1$ 与 $G \bigcirc\bigcirc H_2$ 为 $Q$-同谱图。