[论文解读] Spectral and asymptotic properties of Grover walks on crystal lattice

Yusuke Higuchi, Norio Konno+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入一种扭曲的 Szegedy 随机游走，以分析晶体格点上 Grover 随机游走的谱性质与渐近性质——即无限阿贝尔覆盖图。通过谱映射定理，将该游走的谱与扭曲随机游走关联，证明当商图的贝蒂数大于一的条件下，局域化现象会发生；并推导出在 $\mathbb{Z}^d$ 上 Grover 随机游走的极限密度函数，揭示了线性扩展与局域化的共存，且在半径为 $1/\sqrt{d}$ 的球面上存在 $2^d$ 个奇异点。其核心贡献在于建立了一个谱论框架，将量子游走行为与图的拓扑结构联系起来。

ABSTRACT

We propose a twisted Szegedy walk for estimating the limit behavior of a discrete-time quantum walk on a crystal lattice, an infinite abelian covering graph, whose notion was introduced by [14]. First, we show that the spectrum of the twisted Szegedy walk on the quotient graph can be expressed by mapping the spectrum of a twisted random walk onto the unit circle. Secondly, we show that the spatial Fourier transform of the twisted Szegedy walk on a finite graph with appropriate parameters becomes the Grover walk on its infinite abelian covering graph. Finally, as an application, we show that if the Betti number of the quotient graph is strictly greater than one, then localization is ensured with some appropriated initial state. We also compute the limit density function for the Grover walk on $\mathbb{Z}^d$ with flip flop shift, which implies the coexistence of linear spreading and localization. We partially obtain the abstractive shape of the limit density function: the support is within the $d$-dimensional sphere of radius $1/\sqrt{d}$, and $2^d$ singular points reside on the sphere's surface.

研究动机与目标

• 开发一种用于分析晶体格点上离散时间量子游走的扭曲 Szegedy 随机游走框架。
• 建立一个谱映射定理，将扭曲 Szegedy 随机游走与商图上的扭曲随机游走联系起来。
• 利用闭路径的同调结构，刻画 Grover 随机游走的谱分解。
• 研究在 $\mathbb{Z}^d$ 上 Grover 随机游走时线性扩展与局域化的共存现象。
• 推导出在 $\mathbb{Z}^d$ 上 Grover 随机游走的极限密度函数的形状与支撑集。

提出的方法

• 在 $\ell^2(D)$ 上引入扭曲 Szegedy 随机游走，其中 $D$ 是图 $G=(V,D)$ 的弧集，利用带有相位扭结的酉演化。
• 定义边界算子 $d_A, d_B: \ell^2(D) \to \ell^2(V)$ 及其伴随算子，将希尔伯特空间分解为继承部分 $\mathcal{L}$ 与正交补 $\mathcal{L}^\perp$。
• 证明 $\mathcal{L}$ 在扭曲 Szegedy 随机游走下不变，并对应于在 $\ell^2(V)$ 上的扭曲随机游走所导出的特征值。
• 证明 $\mathcal{L}^\perp = \ker(d_A) \cap \ker(d_B)$，该空间同构于图中闭路径的空间，揭示了同调结构。
• 利用空间傅里叶变换，将有限图上的扭曲 Szegedy 随机游走与它们的无限阿贝尔覆盖图上的 Grover 随机游走联系起来。
• 应用谱映射定理计算极限密度函数，并分析其在 $\mathbb{Z}^d$ 上的支撑集与奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将晶体格点上 Grover 随机游走的谱与商图上扭曲随机游走的谱联系起来？
• RQ2 在何种商图的拓扑条件下，Grover 随机游走中会发生局域化？
• RQ3 Grover 随机游走在 $\mathbb{Z}^d$ 上的极限密度函数的渐近形状是什么？
• RQ4 在 $\mathbb{Z}^d$ 上的 Grover 随机游走如何实现线性扩展与局域化的共存？
• RQ5 商图的贝蒂数在决定游走的谱性质与渐近行为中起什么作用？

主要发现

• 当商图的贝蒂数严格大于一，且初始态选择适当时，Grover 随机游走中的局域化现象被保证发生。
• Grover 随机游走在 $\mathbb{Z}^d$ 上的极限密度函数的支撑集位于半径为 $1/\sqrt{d}$ 的 $d$ 维球体内。
• 极限密度函数在半径为 $1/\sqrt{d}$ 的 $d$ 维球面表面表现出 $2^d$ 个奇异点。
• 底层随机游走的绝对连续谱部分导致了量子游走中的线性扩展行为。
• 当 $d=2$ 时，极限密度函数被显式表示为 $\rho_2(x,y) = \frac{4}{\pi^2 \cos^2 2\gamma}$，其依赖于角参数 $\gamma$，证实了沿圆周的奇异性。
• 谱映射定理建立了扭曲随机游走的特征值与扭曲 Szegedy 随机游走的特征值实部之间的直接对应关系。