[论文解读] Walk/Zeta Correspondence

Takashi Komatsu, Norio Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过傅里叶分析，为d维环面上的一类广泛行走（包括随机行走、相关随机行走、量子行走及开放量子随机行走）建立了行走/ zeta 对应关系。推导出行走类型zeta函数的显式公式，推广了先前的Grover/zeta对应关系结果，并在无限尺寸极限下显示出收敛于含余弦项的积分表达式。

ABSTRACT

Our previous work presented explicit formulas for the generalized zeta function and the generalized Ihara zeta function corresponding to the Grover walk and the positive-support version of the Grover walk on the regular graph via the Konno-Sato theorem, respectively. This paper extends these walks to a class of walks including random walks, correlated random walks, quantum walks, and open quantum random walks on the torus by the Fourier analysis.

研究动机与目标

• 将Grover/zeta对应关系扩展至更广泛的行走类别，包括环面上的量子与经典随机过程。
• 利用傅里叶分析，为具有F型与M型动力学的行走建立统一框架，超越Konno-Sato定理的限制。
• 推导出行走类型zeta函数的显式表达式及其在环面尺寸N → ∞时的渐近行为。
• 将开放量子随机行走作为广义行走模型的特例包含在内。

提出的方法

• 使用移位算子和一般2d×2d的币矩阵A，形式化定义d维环面上的2d状态离散时间行走。
• 应用傅里叶变换技术分析行走动力学，利用环面的平移对称性。
• 将行走演化算子分解为涉及投影算子P_j和币矩阵A作用于移位态的分量。
• 通过路径计数与谱分析推导出行走类型zeta函数，得到在N → ∞极限下的积分表示。
• 使用[0, 2π)^d上的均匀测度，将渐近zeta函数表示为含余弦函数的对数项的多维积分。
• 建立zeta函数与转移算子谱测度之间的等价性，推广了关于Grover行走的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Grover/zeta对应关系从Grover行走推广至环面上的随机行走、相关随机行走及开放量子随机行走？
• RQ2 傅里叶分析在推导具有F型与M型动力学的行走类在d维环面上的zeta函数中起到何种作用？
• RQ3 对于此类行走，当环面尺寸N → ∞时，行走类型zeta函数的渐近形式为何？
• RQ4 所得zeta函数如何与环面上转移算子或拉普拉斯算子的谱测度相关联？
• RQ5 广义zeta函数在无限尺寸极限下能否表示为含余弦项的多维积分？

主要发现

• d维环面上的行走类型zeta函数在极限N → ∞时收敛为[0, 2π)^d上的d重积分，其核函数依赖于余弦项。
• 对于广义zeta函数，极限表达式为(1−u²)^{d−1}乘以对log{(1+u²) − (2u/d)∑_{j=1}^d cosθ_j}关于均匀测度积分的指数形式。
• 对于广义Ihara zeta函数，极限为(1−u²)^{d−1}乘以对log{(1+(2d−1)u²) − 2u∑_{j=1}^d cosθ_j}在相同区域上的积分的指数形式。
• 在2D情形下，渐近zeta函数变为(1−u²)乘以对[0,2π)²上log{(1+u²)−u(cosθ₁+cosθ₂)}的双重积分的指数形式，使用均匀测度。
• 结果恢复并推广了先前关于环面上Grover行走及其正支撑版本的Grover/zeta对应关系结果。
• 该框架成功将开放量子随机行走作为特例包含在内，将zeta函数分析的适用范围扩展至非幺正、耗散性量子过程。