[论文解读] Spectral convergence under bounded Ricci curvature

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用 3

一句话总结

本论文在有界 Ricci 曲率的非坍塌 Gromov-Hausdorff 收敛下，建立了微分一形式上的 Hodge Laplacian 和张量场上的连接 Laplacian 的谱收敛性。证明了这些算子的特征值收敛，给出了基于体积、直径和 Ricci 曲率的特征值新界，并展示了第一 Betti 数的上半连续性，且其连续性与谱间隙的存在性等价。

ABSTRACT

For a noncollapsed Gromov-Hausdorff convergent sequence of Riemannian manifolds with a uniform bound of Ricci curvature, we establish two spectral convergence. One of them is on the Hodge Laplacian acting on differential one-forms. The other is on the connection Laplacian acting on tensor fields of every type, which include all differential forms. These are generalizations of Cheeger-Colding's spectral convergence of the Laplacian acting on functions to the cases of tensor fields and differential forms. As a corollary we show the upper semicontinuity of the first Betti numbers with respect to the Gromov-Hausdorff topology, and give the equivalence between the continuity of them and the existence of a uniform spectral gap. We also define the Riemannian curvature tensor, the Ricci curvature, and the scalar curvature of the limit space, and show their properties. In particular the Ricci curvature coincides with the difference between the Hodge Laplacian and the connection Laplacian, and is compatible with Gigli's one and Lott's Ricci measure. Moreover a lower bound of the Ricci curvature is compatible with a reduced Riemannian curvature dimension condition. We also give a positive answer to Lott's question on the behavior of the scalar curvature with respect to the Gromov-Hausdorff topology.

研究动机与目标

• 在具有统一有界 Ricci 曲率的非坍塌 Gromov-Hausdorff 收敛下，建立微分一形式上的 Hodge Laplacian 和各类张量场上的连接 Laplacian 的谱收敛性。
• 基于体积、直径和 Ricci 曲率界，推导这些算子特征值的新定量界。
• 证明第一 Betti 数在 Gromov-Hausdorff 收敛下的上半连续性，并通过统一谱间隙的存在性来刻画其连续性。
• 在 Gromov-Hausdorff 极限空间上定义可测曲率张量（Ricci 曲率与数量曲率），并建立其与 Gigli 的定义和 Lott 的定义的一致性。
• 通过所提出的可测数量曲率回答 Lott 关于数量曲率在 Gromov-Hausdorff 收敛下行为的疑问。

提出的方法

• 利用具有有界 Ricci 曲率的黎曼流形极限空间上 Hessian 算子的 $L^2$-强收敛性。
• 通过逼近定理和一形式的 Bochner 公式，在 Gromov-Hausdorff 极限空间上构造可测曲率张量。
• 通过曲率张量的 $L^p$-强收敛性，建立所定义 Ricci 曲率与 Gigli 的 Ricci 曲率及 Lott 的 Ricci 测度的一致性。
• 应用约化 Riemann 曲率维度条件，证明下界 Ricci 曲率与 $RCD$-条件的一致性。
• 利用极限空间的结构和 $L^2$-强收敛性，证明 Hodge 与连接 Laplacian 的谱收敛性。
• 运用 $RCD$ 空间理论和测度 Gromov-Hausdorff 收敛方法，分析特征值稳定性与 Betti 数的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有界 Ricci 曲率的非坍塌 Gromov-Hausdorff 收敛下，微分一形式上的 Hodge Laplacian 和各类张量场上的连接 Laplacian 是否具有谱收敛性？
• RQ2 第一 Betti 数在 Gromov-Hausdorff 收敛下是否上半连续，且其连续性是否等价于存在统一谱间隙？
• RQ3 能否在具有有界 Ricci 曲率的黎曼流形的 Gromov-Hausdorff 极限空间上定义可测 Ricci 曲率张量，且其是否与 Gigli 和 Lott 的定义一致？
• RQ4 所提出的数量曲率是否在 Gromov-Hausdorff 收敛下连续，从而回答 Lott 的开放问题？
• RQ5 在具有有界 Ricci 曲率的非坍塌 Gromov-Hausdorff 极限下，Hessian 的 $L^2$-强收敛性是否保持？

主要发现

• 在具有统一有界 Ricci 曲率的非坍塌 Gromov-Hausdorff 收敛下，微分一形式上的 Hodge Laplacian 和各类张量场上的连接 Laplacian 均表现出谱收敛性。
• 第一 Betti 数在 Gromov-Hausdorff 拓扑下是上半连续的，且其连续性等价于存在统一谱间隙。
• 推导出 Hodge 与连接 Laplacian 特征值的新定量界，其依赖于体积、直径和 Ricci 曲率界。
• 在 Gromov-Hausdorff 极限空间上定义了可测 Ricci 曲率张量，其与 Hodge 与连接 Laplacian 的差一致。
• 所定义的 Ricci 曲率与 Gigli 的 Ricci 曲率及 Lott 的 Ricci 测度均一致，且其下界与 $RCD$-条件兼容。
• 本论文通过在极限空间上引入可测数量曲率，对 Lott 关于数量曲率在 Gromov-Hausdorff 收敛下行为的疑问给出了肯定回答。