[论文解读] Spectral invariance for certain algebras of pseudodifferential operators

Robert Lauter, Bertrand Monthubert+1 more|ArXiv.org|Dec 10, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过使用半理想、交换子和施瓦茨空间构造在连续族胚群上的伪微分算子代数，使其在全纯函数演算下封闭，从而为某些伪微分算子代数建立了谱不变性。关键贡献在于证明了当 $ n \geq 2 $ 时的 $ c_n $-演算具有谱不变性，解决了在具有柱形端的非紧流形上 $ b $-演算（$ n=1 $）谱不变性失效的问题。

ABSTRACT

We construct algebras of pseudodifferential operators on a continuous family groupoid G that are closed under holomorphic functional calculus, contain the algebra of all pseudodifferential operators of order 0 on G as a dense subalgebra, and reflect the smooth structure of the groupoid G, when G is smooth. As an application, we get a better understanding on the structure of inverses of elliptic pseudodifferential operators on classes of non-compact manifolds. For the construction of these algebras closed under holomorphic functional calculus, we develop three methods: one using two-sided semi-ideals, one using commutators, and one based on Schwartz spaces on the groupoid.

研究动机与目标

• 解决在具有柱形端的非紧流形上伪微分算子的谱不变性问题，其中标准 $ b $-演算不具有谱不变性。
• 构造在连续族胚群 $ \mathcal{G} $ 的光滑结构下封闭于全纯函数演算的伪微分算子代数。
• 通过引入具有多项式增长的施瓦茨空间与长度函数，将 $ \Psi^* $-代数理论扩展至非紧情形。
• 证明在 $ c_n $-演算（$ n \geq 2 $）中，椭圆算子的逆仍属于同一演算，从而确保同一代数中存在参数解。

提出的方法

• 通过三种方法在连续族胚群 $ \mathcal{G} $ 上构造伪微分算子代数：半理想、交换子以及相对于长度函数 $ \phi $ 的施瓦茨空间。
• 定义代数 $ \Psi^0_s(\mathcal{G}) = \Psi^0(\mathcal{G}) + \SS(\mathcal{G}, \phi) $，其中 $ \SS(\mathcal{G}, \phi) $ 是相对于 $ \phi $ 的 $ \mathcal{G} $ 上的施瓦茨空间。
• 利用 $ \mathcal{G} $ 的李代数群结构，选取生成每点切空间的向量场 $ v_1, \dots, v_N $，并定义二阶微分算子 $ \Delta = \sum v_i^2 $ 及其参数解。
• 证明对任意 $ k_1, k_2 \in I_c^{m,0}(\mathcal{G}, \mathcal{G}^{(0)}) $ 和 $ f \in \SS(\mathcal{G}, \phi) $，有 $ k_1 * f * k_2 \in \SS(\mathcal{G}, \phi) $，从而保证 $ \Psi^0_s(\mathcal{G}) $ 是一个代数。
• 应用定理 1（关于 $ \Psi^* $-代数的谱不变性）证明：若 $ P \in \Psi^0_s(\mathcal{G}) $ 是弗雷德霍姆算子，则其逆属于 $ \Psi^0_s(\mathcal{G}) $。
• 利用 $ b $-演算与 $ c_n $-演算胚群之间的同胚 $ \Theta_n: \Gamma(X) \to \Gamma_n(X) $，将长度函数 $ \phi(x,y,\lambda) = |\log \lambda| $ 拉回到 $ \Gamma_n(X) $ 上，定义 $ \phi_n = \phi \circ \Theta_n^{-1} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \geq 2 $ 时，$ c_n $-演算是否具有谱不变性，而 $ b $-演算（$ n=1 $）则没有？
• RQ2 能否在连续族胚群上的伪微分算子代数中构造出在全纯函数演算下封闭的代数？
• RQ3 包含相对于具有多项式增长的长度函数的施瓦茨空间是否能确保谱不变性？
• RQ4 能否证明 $ c_n $-演算中椭圆算子的逆仍属于同一演算，从而保证参数解的存在性？
• RQ5 在基于胚群的伪微分演算中，施瓦茨空间与参数解构造之间有何相互作用？

主要发现

• 当 $ n \geq 2 $ 时，$ c_n $-演算具有谱不变性，即该演算中椭圆算子的逆仍属于同一演算。
• 当 $ \phi $ 是具有多项式增长的长度函数时，代数 $ \Psi^0_s(\mathcal{G}) = \Psi^0(\mathcal{G}) + \SS(\mathcal{G}, \phi) $ 在全纯函数演算下封闭。
• 施瓦茨空间 $ \SS(\mathcal{G}, \phi) $ 在与 $ I_c^{m,0}(\mathcal{G}, \mathcal{G}^{(0)}) $ 中算子的卷积下保持不变，从而保证 $ \Psi^0_s(\mathcal{G}) $ 是一个代数。
• 对任意弗雷德霍姆算子 $ P \in \Psi^0_s(\mathcal{G}) $，存在一个参数解 $ Q \in \Psi^0_s(\mathcal{G}) $，这是椭圆正则性的一个关键性质。
• $ c_n $-演算胚群 $ \Gamma_n(X) $ 上的长度函数 $ \phi_n(u,v,\mu) = |\mu| $ 是一个定义良好的具有多项式增长的长度函数，通过同胚 $ \Theta_n $ 导出。
• 通过施瓦茨空间的构造方法，即使在非紧情形下也能实现谱不变性，从而将 $ \Psi^* $-代数的应用范围从紧致流形扩展至更广的领域。