[论文解读] Spectral Radius and Amenability in Hilbert Geometries

Constantin Vernicos|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文证明了希尔伯特几何的谱底为正，当且仅当该几何是可约的，即存在一个Følner序列。通过证明希尔伯特几何与其离散化在拟等距意义下同构，并利用光滑化算子将离散与连续谱理论联系起来，作者表明：离散马尔可夫算子的谱半径严格小于1，当且仅当谱底为正，从而在非黎曼几何设定下建立了可约性与谱正性的联系。

ABSTRACT

We study the bottom of the spectrum in Hilbert geometries, we show that it is zero if and only if the geometry is amenable, in other words if and only if it admits a Fölner sequence. We also show that the bottom of the spectrum admits an upper bound, which depends only on the dimension and which is the bottom of the spectrum of the Hyperbolic geometry of the same dimension. Horoballs, from a purely metric point of view, and their relation with the bottom of the spectrum in Hilbert geometries are briefly studied.

研究动机与目标

• 建立希尔伯特几何中可约性的谱几何刻画。
• 将黎曼几何中的结果（特别是切赫常数与谱底的等价性）推广至希尔伯特几何这一非黎曼设定。
• 证明谱底为零当且仅当希尔伯特几何是可约的，即存在Følner序列。
• 证明任意希尔伯特几何的离散化中，马尔可夫算子的谱半径严格小于1，当且仅当谱底为正。
• 建立希尔伯特几何与其离散化之间的拟等距关系，从而实现谱与几何性质在连续与离散设定间的传递。

提出的方法

• 作者使用光滑化算子将函数从离散图（希尔伯特几何的离散化）提升至连续的凸区域。
• 他们定义了一个以半径为 $2\rho$ 的球的局部有限覆盖为基的单位分解，确保对几何的统一控制。
• 通过统一常数 $C_1$ 与 $C_2$，利用光滑化算子将离散函数的 $L^2$-范数与能量（Dirichlet 型）与其连续对应物联系起来，从而建立谱比较。
• 证明依赖于希尔伯特几何与其离散化之间的拟等距关系，该关系允许几何与谱性质的传递。
• 作者应用先前工作中得到的切赫型不等式，将连续几何的切赫常数与离散图的切赫常数联系起来。
• 他们利用与离散图上简单随机游走相关的马尔可夫算子 $T$ 来刻画谱半径 $\rho(\mathbf{G})$，并通过能量型 $\langle(1-T)f,f\rangle$ 将其与谱底联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特几何的谱底为正，当且仅当该几何是可约的，即存在Følner序列吗？
• RQ2 希尔伯特几何的谱性质能否通过其离散化来刻画，特别是通过离散图上马尔可夫算子的谱半径？
• RQ3 希尔伯特几何的切赫常数是否为正，当且仅当谱底为正，如同在黎曼几何中一样？
• RQ4 希尔伯特几何的谱与几何性质在多大程度上与双曲空间的性质相一致，特别是在谱底方面？
• RQ5 如何利用具有统一有界性的光滑化算子，将希尔伯特几何中离散图上函数的 $L^2$-能量与其连续提升联系起来？

主要发现

• 谱底 $\lambda_1(\mathcal{C})$ 为零当且仅当希尔伯特几何 $\mathcal{C}$ 是可约的，即存在Følner序列。
• 谱底的上界由 $n$-维双曲空间的谱底给出，该上界是紧的。
• 通过切赫型不等式，切赫常数 $I_\infty(\mathcal{C})$ 的正性等价于谱底 $\lambda_1(\mathcal{C})$ 的正性。
• 任意希尔伯特几何的离散化 $\mathbf{G}$ 的谱半径 $\rho(\mathbf{G})$ 满足 $\rho(\mathbf{G}) < 1$ 当且仅当 $\lambda_1(\mathcal{C}) > 0$，从而建立了离散与连续谱的等价性。
• 光滑化算子 $\mathcal{S}$ 满足统一有界性：$||f||_2^2 \leq C_1||\mathcal{S}f||_2^2$ 与 $||d\mathcal{S}f||_2^2 \leq C_2\langle(1-T)f,f\rangle$，从而实现谱比较。
• 希尔伯特几何与其离散化之间是拟等距的，这为连续与离散设定间谱与几何性质的传递提供了依据。