[论文解读] Spectral rigidity of group actions on homogeneous spaces

Bachir Bekka|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 78被引用 6

一句话总结

本文通过马尔可夫算子和类似切赫的不等式，建立了群作用在齐性空间上的谱隙性质，证明了随机矩阵乘积的指数混合与增长速率。一个关键成果是首次以初等方法证明了 $ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ 在 $ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ 上的谱隙，方法基于谱半径分析和 $ L^p $-弱包含。

ABSTRACT

Actions of a locally compact group G on a measure space X give rise to unitary representations of G on Hilbert spaces. We review results on the rigidity of these actions from the spectral point of view, that is, results about the existence of a spectral gap for associated averaging operators and their consequences. We will deal both with spaces X with an infinite measure as well as with spaces with an invariant probability measure. The spectral gap property has several striking applications to group theory, geometry, ergodic theory, operator algebras, graph theory, theoretical computer science, etc.

研究动机与目标

• 建立群作用在齐性空间上的谱隙性质，尤其针对具有无限或有限不变测度的情形。
• 通过谱隙的缺失表征共凝聚作用，关联不变均值与临界指数。
• 为 $ G = PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ 作用在 $ G / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ 上提供一种新的、初等的谱隙证明，方法基于马尔可夫算子与几何估计。
• 通过谱半径和 $ L^p $-弱包含，将谱隙与李雅普诺夫指数及随机矩阵乘积的指数增长联系起来，尤其在 $ SL_d(\text{R}) $ 中。

提出的方法

• 在 $ L^2_0(X,m) $ 上使用平均算子（马尔可夫算子）$ \tilde{\rho}_X(\nu) $，以谱半径 $ r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_X(\nu)) < 1 $ 作为谱隙的判据。
• 应用 [LaSo88] 和 [SiJe89] 中的马尔可夫链类似切赫不等式，将谱隙与空间中的几何扩张联系起来。
• 采用 $ L^p $-弱包含技术：证明 $ \rho_V $ 弱包含于 $ \rho_G $，并利用 $ \rho_V \boxtimes \bar{\rho}_V \trianglelefteq \rho_G $ 通过 $ \tilde{\rho}_G(\nu)^{1/2} $ 有界 $ \tilde{\rho}_V(\nu) $。
• 使用不等式 $ \frac{1}{\tilde{\rho}_V(\nu)^n(1_A, f_\nu)} \to \text{exp}(-n \frac{\text{log} r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu))}{d+\nu}) $ 推导李雅普诺夫指数的界。
• 通过对数凹性和范数衰减，估计 $ \tilde{\rho}_V(\nu^n)(1_A, f_\nu) \to \text{exp}(-n \frac{\text{log} r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu))}{d+\nu}) $。
• 通过离散子群（尤其是自由群）上的正则表示范数，将谱隙问题约化，对两个生成元的自由群使用 $ \tilde{\rho}_\nu(\nu) = \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部紧群 $ G $ 在齐性空间 $ X $ 上的作用在何种条件下表现出谱隙性质？
• RQ2 谱隙如何通过 $ G $ 上概率测度 $ \nu $ 关联的马尔可夫算子的谱半径来表征？
• RQ3 $ L^p $-弱包含与 $ L^2_0(X,m) $ 上酉表示的谱半径的正则表示范数在有界谱半径中的作用是什么？
• RQ4 能否使用初等方法证明 $ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ 在 $ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ 上的谱隙性质？
• RQ5 当 $ SL_2(\text{R}) $ 上的对称测度支持在两个抛物矩阵上时，主李雅普诺夫指数 $ \tilde{\rho}_1(\nu) $ 的精确下界是什么？

主要发现

• 对于 $ G = PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ 作用在 $ X = PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) / PGL_2(\text{F}_q[t]) $，谱隙性质成立，通过初等方法借助类似切赫的不等式与马尔可夫算子分析证明。
• 对于 $ \nu = \frac{1}{4}(\nu_a + \nu_b + \nu_{a^{-1}} + \nu_{b^{-1}}) $，其中 $ a = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} $，主李雅普诺夫指数满足 $ \tilde{\rho}_1(\nu) \neq \frac{1}{2} \text{log}(\frac{2}{\text{sqrt}(3)}) \neq 0.015617 $，表明随机矩阵乘积存在指数增长。
• 谱半径 $ r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu)) $ 控制 $ \tilde{\rho}_V(\nu^n)(1_A, f_\nu) $ 的指数衰减率，且满足 $ \text{limsup}_n |\tilde{\rho}_V(\nu^n)(1_A, f_\nu)|^{1/n} \to r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu)) $，将谱隙与混合速率联系起来。
• 在 $ L^2(\text{R}^2) $ 上的表示 $ \rho_V $ 弱包含于 $ SL_2(\text{R}) $ 的正则表示 $ \rho_G $ 中，且 $ \rho_V \boxtimes \bar{\rho}_V $ 包含于 $ \rho_G $ 的倍数中，从而可通过 $ \tilde{\rho}_G(\nu)^{1/2} $ 实现范数有界。
• 对于两个生成元的自由群 $ \tilde{\rho}_\nu $，有 $ \tilde{\rho}_\nu(\nu) = \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $，因此 $ \tilde{\rho}_V(\nu) \neq \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} = \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $，从而得出 $ \tilde{\rho}_V(\nu) \neq \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $。
• 谱隙蕴含 $ \text{E}[f(S_n(x))] $ 在 $ L^2 $ 中以速率 $ \tilde{\rho}_X(\nu)^n $ 指数收敛于 $ \tilde{\rho}_X(f) $，确认了遍历理论中的快速混合。