[论文解读] Spectral Statistics of Non-Hermitian Matrices and Dissipative Quantum Chaos

Jiachen Li, Tomaž Prosen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 112被引用 100

一句话总结

本文引入了耗散谱形式因子（DSFF），即复特征值密度-密度相关性的复时域傅里叶变换，用于诊断非厄米矩阵中的耗散量子混沌。该研究对复Ginibre系综（GinUE）和泊松谱解析求解了DSFF，发现其呈现凹陷-斜坡-平台结构，且斜坡部分随|τ|呈二次增长，与厄米系统中的线性斜坡形成对比，并在量子踢动拓扑和经典随机矩阵中建立了普遍性。

ABSTRACT

We propose a measure, which we call the dissipative spectral form factor (DSFF), to characterize the spectral statistics of non-Hermitian (and non-Unitary) matrices. We show that DSFF successfully diagnoses dissipative quantum chaos, and reveals correlations between real and imaginary parts of the complex eigenvalues up to arbitrary energy (and time) scale. Specifically, we provide the exact solution of DSFF for the GinUE and for a Poissonian random spectrum (Poisson) as minimal models of dissipative quantum chaotic and integrable systems respectively. For dissipative quantum chaotic systems, we show that DSFF exhibits an exact rotational symmetry in its complex time argument $ au$. Analogous to the spectral form factor (SFF) behaviour for GUE, DSFF for GinUE shows a ``dip-ramp-plateau'' behavior in $| au|$: DSFF initially decreases, increases at intermediate time scales, and saturates after a generalized Heisenberg time which scales as the inverse mean level spacing. Remarkably, for large matrix size, the ``ramp'' of DSFF for GinUE increases quadratically in $| au|$, in contrast to the linear ramp in SFF for Hermitian ensembles. For dissipative quantum integrable systems, we show that DSFF takes a constant value except for a region in complex time whose size and behavior depends on the eigenvalue density. Numerically, we verify the above claims and show that DSFF for real and quaternion real Ginibre ensembles coincides with the GinUE behaviour except for a region in complex time plane of measure zero in the limit of large matrix size. As a physical example, we consider the quantum kicked top model with dissipation, and show that it falls under the Ginibre universality class and Poisson as the `kick' is switched on or off. Lastly, we study spectral statistics of ensembles of random classical stochastic matrices, and show that these models fall under the Ginibre universality class.

研究动机与目标

• 开发一种适用于非厄米和非酉矩阵的谱诊断工具，以捕捉任意能量与时间尺度下的相关性。
• 通过特征值复时域相关函数表征耗散量子混沌。
• 确立耗散谱形式因子（DSFF）作为混沌与可积耗散系统普遍探测工具的地位。
• 证明DSFF行为在量子踢动拓扑模型与经典随机矩阵中的普遍性。

提出的方法

• 提出DSFF为复特征值两两相关函数的二维傅里叶变换的α次幂，定义为Kα(t,s) = ⟨|∑_{m,n} e^{i(xn−xm)t + i(yn−ym)s}|^α⟩。
• 将DSFF表示为复时间τ = |τ|e^{iθ}的形式，其中K(τ,τ*)依赖于特征值差在复平面上θ轴方向的投影。
• 对GinUE（混沌）和泊松（可积）系综进行DSFF的解析计算，作为最小模型。
• 利用数值模拟验证分析结果，并研究矩阵尺寸与特征值密度的影响。
• 将DSFF应用于具有耗散的量子踢动拓扑系统以及随机经典随机矩阵，表明其与GinUE具有普遍性。
• 定义临界角θ*以量化DSFF行为与GinUE普遍性一致的θ范围，采用误差函数与曲率分析方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 DSFF在耗散量子混沌系统中是否表现出普遍行为？其与厄米系统中标准SFF有何不同？
• RQ2 GinUE的DSFF函数形式为何？其是否呈现凹陷-斜坡-平台结构，且斜坡部分随|τ|呈二次增长？
• RQ3 DSFF能否区分具有耗散的混沌与可积系统，例如在量子踢动拓扑模型中？
• RQ4 经典随机矩阵的DSFF行为是否具有普遍性，且与GinUE等价？
• RQ5 临界角θ*如何随矩阵尺寸N变化？这对其普遍行为范围有何含义？

主要发现

• GinUE的DSFF随|τ|呈现凹陷-斜坡-平台结构，且斜坡部分随|τ|呈二次增长，与厄米系统中的线性斜坡形成鲜明对比。
• 在大矩阵尺寸下，实Ginibre系综与四元数实Ginibre系综的DSFF与GinUE行为一致，仅在复时间集合的零测度子集上存在差异。
• 泊松谱的DSFF仅在依赖于特征值密度的区域内发生变化，其余区域保持恒定，表明缺乏相关性。
• 数值结果证实，当踢动开启时，具有耗散的量子踢动拓扑系统落入GinUE普遍性类；当踢动关闭时，落入泊松类。
• 临界角θ*满足θ* ∝ N^{-1/2}，表明普遍性区域随矩阵尺寸增大而缩小。
• 经典随机矩阵及由CUE或GinUE导出的随机矩阵系综同样落入GinUE普遍性类，证实DSFF具有广泛适用性。