[论文解读] Spin(9) geometry of the octonionic Hopf fibration

Liviu Ornea, Maurizio Parton+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究八元数 Hopf 纤维丛 $S^{15} \to S^8$ 的 Spin(9) 几何，证明了 $S^{15}$ 上任意竖直向量场必有至少一个零点，从而重新证明了 $S^1$-子纤维丛的不存在性。此外，本文对紧致局部共形平行的 Spin(9)-流形进行了分类，表明它们是 $S^{15} \times \mathbb{R}$ 的有限覆盖，并通过 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ 的有限子群给出了此类流形的完整列表。

ABSTRACT

We deal with Riemannian properties of the octonionic Hopf fibration S^{15}-->S^8, in terms of the structure given by its symmetry group Spin(9). In particular, we show that any vertical vector field has at least one zero, thus reproving the non-existence of S^1 subfibrations. We then discuss Spin(9)-structures from a conformal viewpoint and determine the structure of compact locally conformally parallel Spin(9)-manifolds. Eventually, we give a list of examples of locally conformally parallel Spin(9)-manifolds.

研究动机与目标

• 通过其 $\mathrm{Spin}(9)$ 对称性分析八元数 Hopf 纤维丛 $S^{15} \to S^8$ 的黎曼几何与几何性质。
• 通过证明 $S^{15}$ 上每个竖直向量场至少有一个零点，重新证明 $S^1$-子纤维丛的不存在性。
• 通过处理 $G = \mathrm{Spin}(9)$ 的情形，完成局部共形平行 $G$-结构的一般框架。
• 对紧致局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-流形进行分类，并通过 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ 的有限子群提供显式例子。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{Spin}(9)$ 在 $S^{15}$ 上的作用（源自 $\mathrm{SO}(8)$ 中的三重性）来分析八元数 Hopf 纤维丛的几何。
• 应用三重性原理，构造一个对角子群 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$，其在 $S^{15}$ 上无不动点地作用。
• 在局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-结构的背景下分析李形式与李向量场，证明李向量场永不消失。
• 在紧致局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-流形上构造一个规范的 8 维叶状结构。
• 通过识别 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta$ 中在 $S^{15}$ 上无不动点作用的有限子群，对这类流形进行分类，利用已知的 $\mathrm{Sp}(1)$ 有限子群分类。
• 证明紧致局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-流形的万有覆盖在共形等价意义下同构于 $\mathbb{R}^{16} \setminus \{0\}$，即 $S^{15}$ 的锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有切于八元数 Hopf 纤维丛 $S^{15} \to S^8$ 的纤维的 $S^{15}$ 上的竖直向量场是否必然有零点？
• RQ2 能否通过在 $S^{15}$ 上分析向量场，重新证明八元数 Hopf 纤维丛中 $S^1$-子纤维丛的不存在性？
• RQ3 承认局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-结构的紧致流形具有何种结构？
• RQ4 如何通过 $S^{15}$ 上的有限群作用对所有此类紧致流形进行分类？
• RQ5 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ 的哪些有限子群在 $S^{15}$ 上无不动点作用，对应的 $\mathrm{Spin}(9)$-流形是什么？

主要发现

• 任何切于八元数 Hopf 纤维丛 $S^{15} \to S^8$ 纤维的 $S^{15}$ 上的全局向量场必有至少一个零点，确认了 $S^1$-子纤维丛的不存在性。
• 紧致局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-流形的黎曼万有覆盖在共形等价意义下同构于 $\mathbb{R}^{16} \setminus \{0\}$，即 $S^{15}$ 的锥。
• 此类流形是 $S^{15} \times \mathbb{R}$ 的有限覆盖，并具有规范的 8 维叶状结构。
• 对紧致局部共形平行 $\mathrm{Spin}(9)$-流形的分类可归结为寻找 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ 中在 $S^{15}$ 上无不动点作用的有限子群。
• 所有此类流形均来自 $\mathrm{Sp}(1)$ 的有限子群（循环群、二面体群、四面体群、八面体群、二十面体群）在 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta$ 上的提升，且提供了显式生成元。
• 任意此类流形上的李向量场永不消失，意味着存在 $\mathrm{Spin}(7)_\Delta$-结构，且等距分类可简化为 $S^{15}$ 上无不动点作用的群作用。