[论文解读] Splitting methods for a class of non-potential mean field games

Siting Liu, Levon Nurbekyan|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的原始-对偶分裂方法，用于具有混合局部与非局部耦合的非势能平均场博弈（MFGs），通过将系统表述为单调包含问题。通过在傅里叶空间或特征空间中利用正交投影表示非局部耦合，该方法实现了维数约简，支持模块化与可并行化算法设计，并通过凸分析确保收敛性，将PDHG型求解器的应用范围扩展至非势能MFGs。

ABSTRACT

We extend the methods from Nurbekyan, Saude "Fourier approximation methods for first-order nonlocal mean-field games" [Port. Math. 75 (2018), no. 3-4] and Liu, Jacobs, Li, Nurbekyan, Osher "Computational methods for nonlocal mean field games with applications" [arXiv:2004.12210] to a class of non-potential mean-field game (MFG) systems with mixed couplings. Up to now, splitting methods have been applied to potential MFG systems that can be cast as convex-concave saddle-point problems. Here, we show that a class of non-potential MFG can be cast as primal-dual pairs of monotone inclusions and solved via extensions of convex optimization algorithms such as the primal-dual hybrid gradient (PDHG) algorithm. A critical feature of our approach is in considering dual variables of nonlocal couplings in Fourier or feature spaces.

研究动机与目标

• 开发一种计算框架，用于处理同时具有局部与非局部相互作用的非势能平均场博弈系统，将现有分裂方法的适用范围从势能MFGs推广至更一般情形。
• 通过使用正交基将非局部核投影至低维特征空间，克服传统方法在内存与计算成本方面的高开销问题。
• 通过在傅里叶空间中引入对偶变量，将MFG系统表述为单调包含问题，实现高效求解，确保算法的模块化与并行性。
• 通过凸对偶性与单调算子理论提供收敛性保证，将PDHG型算法的适用性扩展至非势能设置。

提出的方法

• 通过为每种相互作用项（包括局部与非局部耦合）引入对偶变量，将非势能MFG系统表述为原始-对偶单调包含问题。
• 通过将相互作用核 $K$ 与 $S$ 投影到由基函数 $\{\zeta_i\}$ 张成的有限维子空间上，对非局部耦合进行表示，从而降低问题的维数。
• 非局部项的对偶变量定义在傅里叶空间或特征空间中，通过快速变换实现高效计算，避免在精细网格上进行完整的矩阵-向量乘积运算。
• 算法采用应用于单调包含问题的原始-对偶混合梯度（PDHG）方案，不同相互作用类型的更新可解耦，支持并行化处理。
• 通过利用凸对偶性与勒让德变换推导等价的包含条件，确保在单调性假设下的收敛性。
• 该方法具有模块化特性：添加新的局部或非局部相互作用仅需对算法结构进行最小程度的修改。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将类似PDHG的分裂方法扩展至具有混合局部与非局部耦合的非势能MFG系统？
• RQ2 如何高效表示非局部相互作用，以降低MFG求解器中的内存与计算成本？
• RQ3 在傅里叶空间或特征空间中的对偶变量在实现非势能MFG可扩展且模块化的求解方案中起到何种作用？
• RQ4 通过单调包含问题表述将PDHG扩展至非势能设置时，能否保持收敛性保证？
• RQ5 对核 $K$ 与 $S$ 进行正交投影对所得到的MFG解的精度与稳定性有何影响？

主要发现

• 所提出的方法通过在傅里叶空间中引入对偶变量，成功将PDHG型求解器扩展至非势能MFG系统，其核心为单调包含问题的表述。
• 通过投影至低维基函数空间对非局部耦合进行近似，实现了显著的维数约简，同时保持了算法的模块化特性。
• 该算法具有高度模块化与可并行性，因为不同相互作用项对应的对偶变量更新彼此解耦。
• 收敛性由所涉及算子的最大单调性保证，其来源于凸对偶性与勒让德变换的性质。
• 通过快速变换实现非局部项的高效计算，避免了在精细网格上执行昂贵的矩阵-向量乘积。
• 该方法具有通用性，可适用于具有任意局部与非局部相互作用组合的广泛类非势能MFG系统。