[论文解读] Spreading in space-time periodic media governed by a monostable equation with free boundaries, Part 2: Spreading speed

Weiwei Ding, Yihong Du+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过一种新方法，无需构造半波解，建立了空间-时间周期介质中具有自由边界的一类单稳态反应-扩散方程的渐近传播速度的存在性。作者证明了传播速度关于边界条件参数 μ 是非减的，并且当 μ → ∞ 时收敛到一个极限速度，为分析非均匀环境中的入侵动力学提供了稳健的框架。

ABSTRACT

This is Part 2 of our work aimed at classifying the long-time behavior of the solution to a free boundary problem with monostable reaction term in space-time periodic media. In Part 1 (see \cite{ddl}) we have established a theory on the existence and uniqueness of solutions to this free boundary problem with continuous initial functions, as well as a spreading-vanishing dichotomy. We are now able to develop the methods of Weinberger \cite{w1, w2} and others \cite{fyz,lyz,lz1,lz2,lui} to prove the existence of asymptotic spreading speed when spreading happens, without knowing a priori the existence of the corresponding semi-wave solutions of the free boundary problem. This is a completely different approach from earlier works on the free boundary model, where the spreading speed is determined by firstly showing the existence of a corresponding semi-wave. Such a semi-wave appears difficult to obtain by the earlier approaches in the case of space-time periodic media considered in our work here.

研究动机与目标

• 确定由具有自由边界的单稳态反应-扩散方程控制的空间-时间周期介质中的渐近传播速度。
• 发展一种避免先前必须构造半波解的方法，该方法在周期介质中难以实现。
• 证明传播速度关于边界条件参数 μ 的存在性与单调性。
• 建立当 μ → ∞ 时传播速度收敛到极限值的结果。
• 将 Weinberger 对初值问题的方法推广至周期环境中具有自由边界的边值问题。

提出的方法

• 将 [16] 中 Weinberger 的方法适配到自由边界问题，利用保序算子与迭代逼近方案。
• 采用一系列具有截断区域的逼近问题，并构造一族函数 $ a^{c}_{n, u}( heta,x) $ 以追踪前缘传播。
• 利用比较原理与 Hölder 空间中的收敛结果，建立当 μ → ∞ 时解的一致收敛性。
• 应用极限算子 $ \bar{U} $ 推导出极限传播速度 $ \bar{c}_+^* $，该值作为 $ c^*_{+, u} $ 的上界。
• 通过比较不同 ν 值下的解并利用保序性质，证明 $ c^*_{+, u} $ 关于 ν 的单调性。
• 通过反证法证明 $ c^*_{+, u} $ 的收敛性，表明任何更小的极限值都会违反比较原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖半波解知识的前提下，建立空间-时间周期介质中传播速度的存在性？
• RQ2 当边界条件参数 μ 增大时，传播速度的行为如何？
• RQ3 当 μ → ∞ 时，传播速度是否收敛到一个极限值？
• RQ4 在 Stefan 型边界条件下，传播速度如何依赖于参数 μ？
• RQ5 保序算子方法能否推广至具有周期系数的自由边界问题？

主要发现

• 即使在缺乏半波解先验知识的情况下，自由边界问题在空间-时间周期介质中的渐近传播速度依然存在。
• 传播速度 $ c^*_{+, u} $ 关于参数 ν > 0 是非减的，表明更强的边界反馈导致更快的传播。
• 极限 $ \lim_{\nu \to \infty} c^*_{+\nu} = \bar{c}^*_+ $ 存在，且对应于具有不同边界条件的关联问题的传播速度。
• 向右传播速度 $ c^*_{+\nu} $ 收敛至 $ \bar{c}^*_+ $，即极限问题 (1.7) 的传播速度，证实了该方法的稳健性。
• 向左传播速度 $ c^*_{-\nu} $ 同样是非减的，并收敛至 $ \bar{c}^*_- $，即极限问题中对应的传播速度。
• 证明表明对所有 ν > 0 有 $ c^*_{+\nu} \leq \bar{c}^*_+ $，且通过反证法确认了当 ν → ∞ 时极限处取等。