[论文解读] SPRSF: Sparse Phase Retrieval via Smoothing Function

Samuel Pinilla, Jorge Bacca+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文提出SPRSF，一种新颖的稀疏相位检索算法，通过使用平滑函数克服了SPARTA等现有方法的非光滑性，消除了对截断阈值的需求。SPRSF在梯度下降方向上采用迭代硬阈值法，实现了线性收敛，采样复杂度为O(k² log n)，在恢复率和鲁棒性方面优于最先进方法，尤其在稀疏度k未知时表现更优。

ABSTRACT

Phase retrieval (PR) is an ill-conditioned inverse problem which can be found in various science and engineering applications. Assuming sparse priority over the signal of interest, recent algorithms have been developed to solve the phase retrieval problem. Some examples include SparseAltMinPhase (SAMP), Sparse Wirtinger flow (SWF) and Sparse Truncated Amplitude flow (SPARTA). However, the optimization cost functions of the mentioned algorithms are non-convex and non-smooth. In order to fix the non-smoothness of the cost function, the SPARTA method uses truncation thresholds to calculate a truncated step update direction. In practice, the truncation procedure requires calculating more parameters to obtain a desired performance in the phase recovery. Therefore, this paper proposes an algorithm called SPRSF (Sparse Phase retrieval via Smoothing Function) to solve the sparse PR problem by introducing a smoothing function. SPRSF is an iterative algorithm where the update step is obtained by a hard thresholding over a gradient descent direction. Theoretical analyses show that the smoothing function uniformly approximates the non-convex and non-smooth sparse PR optimization problem. Moreover, SPRSF does not require the truncation procedure used in SPARTA. Numerical tests demonstrate that SPRSF performs better than state-of-the-art methods, especially when there is no knowledge about the sparsity $k$. In particular, SPRSF attains a higher mean recovery rate in comparison with SPARTA, SAMP and SWF methods, when the sparsity varies for the real and complex cases. Further, in terms of the sampling complexity, the SPRSF method outperforms its competitive alternatives.

研究动机与目标

• 解决现有稀疏相位检索算法（如SPARTA、SAMP和SWF）存在的非光滑性和高采样复杂度问题。
• 构建一种平滑的非凸优化框架，以统一逼近稀疏相位检索问题。
• 消除梯度更新中对截断阈值的依赖，避免因调参导致的性能下降。
• 在最小采样复杂度下实现任意k-稀疏信号的线性收敛。
• 提升恢复性能，尤其在真实稀疏度k未知的情况下。

提出的方法

• 引入平滑函数以逼近稀疏相位检索中非光滑、非凸的目标函数。
• 通过迭代硬阈值法更新梯度下降方向，以保持稀疏性。
• 对目标函数中的绝对值和相位项采用平滑逼近，确保可微性。
• 利用谱范数和大偏差不等式推导梯度范数的理论界。
• 在测量矩阵以高概率满足受限等距性质的条件下，建立收敛性。
• 证明对于任意k-稀疏信号，SPRSF在采样复杂度O(k² log n)下可实现线性收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 平滑函数能否有效逼近非光滑、非凸的稀疏相位检索目标函数？
• RQ2 在梯度更新中消除截断阈值是否能提升恢复性能并降低采样复杂度？
• RQ3 SPRSF是否能在不依赖稀疏度k先验知识的情况下实现线性收敛？
• RQ4 在不同稀疏度下，SPRSF与SPARTA、SAMP和SWF在恢复率和鲁棒性方面有何比较？
• RQ5 SPRSF在精确信号恢复下的理论采样复杂度是多少？

主要发现

• SPRSF对任意k-稀疏信号实现线性收敛，采样复杂度为O(k² log n)，与理论边界一致。
• SPRSF在平均恢复率方面优于SPARTA、SAMP和SWF，尤其在稀疏度k未知时表现更优。
• 该算法消除了对截断阈值的需求，减少了参数调优，提升了稳定性。
• 数值结果表明，SPRSF在不同稀疏度下对实信号和复信号均保持高恢复性能。
• 理论分析证实，平滑函数能统一逼近原始非光滑目标函数。
• SPRSF对稀疏度不确定性具有鲁棒性，适用于k未知的实际应用场景。