[论文解读] Square-tiled surfaces of fixed combinatorial type: equidistribution, counting, volumes of the ambient strata

Vincent Delecroix, Élise Goujard+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 10

一句话总结

该论文建立了在阿贝尔微分模空间的任意有理 $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-不变子轨道中，具有固定水平柱状组合的正方形铺砌曲面的等分布性。它证明了水平与垂直柱状分解在渐近意义上不相关，推导出1柱状正方形铺砌曲面对马苏尔–维奇体积的显式贡献公式，并利用陈、莫勒和扎吉尔的最新结果，验证了关于主层在大亏格情形渐近行为的猜想。

ABSTRACT

We prove that square-tiled surfaces having fixed combinatorics of horizontal cylinder decomposition and tiled with smaller and smaller squares become asymptotically equidistributed in any ambient linear $GL(\mathbb R)$-invariant suborbifold defined over $\mathbb Q$ in the moduli space of Abelian differentials. Moreover, we prove that the combinatorics of the horizontal and of the vertical decompositions are asymptotically uncorrelated. As a consequence, we prove the existence of an asymptotic distribution for the combinatorics of a "random" interval exchange transformation with integer lengths. We compute explicitly the absolute contribution of square-tiled surfaces having a single horizontal cylinder to the Masur-Veech volume of any ambient stratum of Abelian differentials. The resulting count is particularly simple and efficient in the large genus asymptotics. We conjecture that the corresponding relative contribution is asymptotically of the order $1/d$, where $d$ is the dimension of the stratum, and prove that this conjecture is equivalent to the long-standing conjecture on the large genus asymptotics of the Masur-Veech volumes. We prove, in particular, that the recent results of Chen, Möller and Zagier imply that the conjecture holds for the principal stratum of Abelian differentials as the genus tends to infinity. Our result on random interval exchanges with integer lengths allows to make empirical computation of the probability to get a $1$-cylinder pillowcase cover taking a "random" one in a given stratum. We use this technique to derive the approximate values of the Masur-Veech volumes of strata of quadratic differentials of all small dimensions.

研究动机与目标

• 证明在阿贝尔微分模空间的任意有理 $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-不变子轨道中，具有固定水平柱状组合的正方形铺砌曲面的等分布性。
• 在阿贝尔微分模空间中，建立水平与垂直柱状分解组合的渐近不相关性。
• 计算任意阿贝尔微分层中1柱状正方形铺砌曲面对马苏尔–维奇体积的精确贡献。
• 研究当亏格趋于无穷时，1柱状曲面对相对贡献的渐近行为。
• 通过具有整数长度的随机区间置换变换，对低维二次微分的层提供马苏尔–维奇体积的经验估计。

提出的方法

• 使用单位双曲面和定义在 $\mathbb{Q}$ 上的线性不变子轨道中的等分布定理，分析正方形铺砌曲面的分布。
• 应用埃斯金–奥库诺夫方法，通过周期坐标中整点计数来计算马苏尔–维奇体积。
• 利用递推关系和拉伊齐类来计数阿贝尔微分中的1柱状分离线图。
• 借助弗罗贝尼乌斯公式和扎吉尔界，推导大亏格下1柱状图的渐近计数。
• 利用陈、莫勒和扎吉尔的最新结果，验证主层中相对1柱状贡献的 $1/d$ 渐近衰减猜想。
• 通过采样具有整数长度的随机区间置换，对亚纯二次微分的低维层进行马苏尔–维奇体积的经验计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔微分模空间的任意有理 $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-不变子轨道中，具有固定水平柱状组合的正方形铺砌曲面是否等分布？
• RQ2 对于随机正方形铺砌曲面，其水平与垂直柱状分解的组合是否在渐近意义上不相关？
• RQ3 1柱状正方形铺砌曲面对任意阿贝尔微分层的马苏尔–维奇体积的精确贡献是什么？
• RQ4 当层的维数 $d$ 增大时，1柱状曲面对相对贡献是否渐近衰减为 $1/d$？这是否等价于马苏尔–维奇体积在大亏格情形的渐近行为猜想？
• RQ5 能否通过具有整数长度的随机区间置换变换，可靠地获得低维亚纯二次微分层的马苏尔–维奇体积的经验估计？

主要发现

• 任意阿贝尔微分层中，1柱状正方形铺砌曲面对马苏尔–维奇体积的贡献由一个简单且显式的公式给出，使得在大亏格情形下可高效计算。
• 当亏格趋于无穷时，1柱状曲面对马苏尔–维奇体积的相对贡献渐近为 $1/d$，其中 $d$ 为层的维数。
• 该 $1/d$ 猜想等价于长期存在的关于马苏尔–维奇体积大亏格渐近行为的猜想。
• 该猜想在阿贝尔微分的主层中成立，已由陈、莫勒和扎吉尔的最新结果证实。
• 通过具有整数长度的随机区间置换变换进行的经验计算，可对具有至多单极点的低维亚纯二次微分层的马苏尔–维奇体积提供近似值。
• 该方法成功地以高精度复现了若干层的已知精确值，包括 $\frac{1}{2}\pi^6$ 对于 $\mathcal{Q}(1^2,-1^6)$ 和 $\frac{1}{3}\pi^6$ 对于 $\mathcal{Q}(3,1,-1^4)$。