[论文解读] Stability and Control of Piecewise-Deterministic Queueing Systems.

Li Jin, Saurabh Amin|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文研究具有马氏调制容量和状态反馈控制的分段确定性排队系统（PDQs），建立了稳定性存在的必要与充分条件。推导出稳定性的一个双线性矩阵不等式条件，并证明了唯一遍历性，对两模式系统给出了显式结果，并将其应用于单个和并行网络化链路。

ABSTRACT

We consider a piecewise-deterministic queueing (PDQ) model to study traffic queues due to stochastic capacity fluctuations in transportation facilities. The saturation rate (capacity) of the PDQ model switches between a finite set of values (modes) according to a Markov chain. The inflow to the PDQ is controlled by a state-feedback policy. The main results of this article are stability conditions of PDQs, i.e. conditions under which the distribution of the queue length converges to a unique invariant probability measure. On one hand, a necessary condition for stability is that the average inflow does not exceed the average saturation rate. On the other hand, based on the Foster-Lyapunov criteria, we derive a sufficient condition that requires a bilinear matrix inequality to admit positive solutions and the invariant probability measure to be unique. We also study the rate of convergence for stable PDQs. Furthermore, for PDQs with two modes, a necessary and sufficient condition for stability is available. In addition, we present examples for the stability analysis of feedback control policies for single PDQs as well as a network of two PDQ links in parallel.

研究动机与目标

• 分析由马氏链建模的随机容量波动下分段确定性排队系统（PDQs）的稳定性。
• 推导出控制队列长度分布的唯一不变概率测度存在的必要与充分条件。
• 评估稳定PDQ系统中向不变测度收敛的速率。
• 设计反馈控制策略，确保在动态容量制度下的系统稳定性。
• 将理论框架应用于单个PDQ和两个PDQ链路的并行网络。

提出的方法

• 将PDQ建模为一个分段确定性马氏过程，其中容量根据连续时间马氏链在离散模式间切换。
• 使用状态反馈控制根据当前队列长度和系统模式调节输入流量。
• 应用福斯特-李雅普诺夫准则，推导出涉及正定解的双线性矩阵不等式的充分稳定性条件。
• 建立稳定性的一个必要条件：平均输入流量不得超过所有模式下的平均饱和速率。
• 对于两模式PDQ，通过显式解析解推导出稳定性存在的必要与充分条件。
• 利用李雅普诺夫函数技术和不变测度的性质分析收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PDQ的队列长度分布会收敛到唯一的不变概率测度？
• RQ2 平均输入流量与平均容量之间存在何种关系可确保系统稳定性？
• RQ3 如何设计反馈控制策略以在马氏调制容量下维持系统稳定性？
• RQ4 在稳定PDQ系统中，向不变分布的收敛速率是多少？
• RQ5 能否为具有两个容量模式的PDQ推导出必要与充分稳定性条件？

主要发现

• 稳定性的一个必要条件是：平均输入流量不得超过所有容量模式下的平均饱和速率。
• 稳定性的一个充分条件是：双线性矩阵不等式存在正定解，且不变测度唯一。
• 对于恰好具有两个容量模式的PDQ，显式推导出稳定性存在的必要与充分条件。
• 通过李雅普诺夫函数方法和系统参数量化了向不变分布的收敛速率。
• 通过单个PDQ和并行双链路网络的实例验证了反馈控制策略，在所推导条件下表现出系统稳定性。
• 在所提出的充分稳定性条件下，队列长度过程的不变概率测度是唯一的。