[论文解读] Stability and error analysis of a splitting method using Robin-Robin coupling applied to a fluid-structure interaction problem

Erik Burman, R. Durst+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文针对流固耦合（FSI）问题，对一种Robin-Robin分裂法进行了稳定性与误差分析，采用显式、弱耦合格式，并在流固界面处使用Robin传输条件。关键贡献在于严格证明了全局误差在时间$T$时为$O(\sqrt{T\Delta t})$，当Robin参数$\lambda$为$O(1)$时，该误差与空间离散化无关，从而在无需$h^{-1}$-尺度稳定项的条件下证明了收敛性。

ABSTRACT

We analyze a splitting method for a canonical fluid structure interaction problem. The splittling method uses a Robin-Robin boundary condition, explicit strategy. We prove the method is stable and, furthermore, we provide an error estimate that shows the error at the final time $T$ is $O(\sqrt{TΔt})$ where $Δt$ is the time step.

研究动机与目标

• 解决经典弱耦合格式在流固耦合中因附加质量效应导致的不稳定性问题。
• 分析一种无需额外压力稳定化的Robin-Robin耦合方法，该方法虽在数值上表现稳定，但此前缺乏理论基础。
• 为时间离散的分裂格式建立严格的误差估计，证明其收敛性与空间离散化无关。
• 消除以往因限制时间步长和需要迭代修正而必须采用$h^{-1}$-尺度稳定项的依赖。

提出的方法

• 该方法采用时间分裂策略，每个时间步中顺序求解流体与固体的PDE，并在界面处使用Robin-Robin传输条件。
• Robin-Robin耦合通过涉及法向速度与牵引力的界面通量实现，其中参数$\lambda$控制耦合强度。
• 分析假设局部PDE解具有足够的正则性，避免空间离散化，专注于时间离散化误差。
• 关键技术包括使用改进的能量范数进行能量估计，并借鉴G. Baker的方法，以避免误差界出现指数增长。
• 通过比较精确解与分裂格式推导截断误差，并结合稳定性分析以控制全局误差。
• 在Young不等式中引入参数$\delta = \Delta t / (2T)$，以控制随时间步长累积的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 Robin-Robin弱耦合格式在流固耦合中是否无需额外压力稳定化即可保持稳定？
• RQ2 能否为时间离散的Robin-Robin分裂法建立与空间离散化无关的严格误差估计？
• RQ3 误差是否随时间呈指数增长，还是仅以$\sqrt{T\Delta t}$增长？能否通过能量方法证明这一点？
• RQ4 当$\lambda = O(1)$时，能否实现$O(\sqrt{T\Delta t})$的误差界，从而避免对稳定参数进行$h^{-1}$-缩放？
• RQ5 在该公式下，时间离散格式的收敛性是否可保证，即使不使用迭代修正？

主要发现

• Robin-Robin分裂格式的全局误差在合适的能量范数下被控制在$O(\sqrt{T\Delta t})$以内，且常数与空间离散化无关。
• 误差估计随$\sqrt{T}$增长，而非指数增长，相较于以往方法有显著改进。
• 分析证明了时间离散格式的稳定性与收敛性，无需任何压力稳定化或对Robin参数进行$h^{-1}$-缩放。
• 当$\lambda = O(1)$时，方法实现了收敛，消除了对极小时间步长或迭代修正程序的需求。
• 误差界通过一种新颖的能量技术推导得出，该技术避免了指数增长，灵感源自G. Baker的方法。
• 结果表明，该方法在长时间模拟中具有鲁棒性，并允许高效的空间离散化选择。