[论文解读] Stability of group relations under small Hilbert-Schmidt perturbations

Don Hadwin, Tatiana Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 6

一句话总结

该论文通过迹超乘积和特征的逼近性质，利用归一化的希尔伯特-施密特范数，建立了所有具有非平凡中心的1-relator群在$II_1$-因子下的稳定性。此外，通过有限维迹的逐点极限刻画了阿贝尔群的矩阵稳定性，证明了离散海森堡群$\mathbb{H}_3$和拟阿贝尔群的稳定性，并表明特征刚性蕴含非阿贝尔群稳定性所必需的逼近性质。

ABSTRACT

If matrices almost satisfying a group relation are close to matrices exactly satisfying the relation, then we say that a group is matricially stable. Here "almost" and "close" are in terms of the Hilbert-Schmidt norm. Using tracial 2-norm on $II_1$-factors we similarly define $II_1$-factor stability for groups. Our main result is that all 1-relator groups with non-trivial center are $II_{1}$-factor stable. Many of them are also matricially stable and RFD. For amenable groups we give a complete characterization of matricial stability in terms of the following approximation property for characters: each character must be a pointwise limit of traces of finite-dimensional representations. This allows us to prove matricial stability for the discrete Heisenberg group $\mathbb H_3$ and for all virtually abelian groups. For non-amenable groups the same approximation property is a necessary condition for being matricially stable. We study this approximation property and show that RF groups with character rigidity have it.

研究动机与目标

• 通过$II_1$-因子上的迹范数和有限维表示，定义并分析在小希尔伯特-施密特扰动下的群稳定性。
• 通过有限维表示的迹逼近，刻画阿贝尔群的矩阵稳定性。
• 为一大类非阿贝尔群（特别是具有非平凡中心的1-relator群）建立$II_1$-因子稳定性。
• 研究特征刚性与矩阵稳定性所必需的逼近性质之间的联系。
• 证明特定形式群的$C^*$-代数的剩余有限维性，将表示理论与稳定性联系起来。

提出的方法

• 使用迹超乘积，将矩阵稳定性和$II_1$-因子稳定性推广至非有限表示的群。
• 应用归一化的希尔伯特-施密特范数，衡量近似解与群关系精确解之间的接近程度。
• 将逼近性质（每个特征是有限维表示迹的逐点极限）作为矩阵稳定性的关键判据。
• 利用引理8（有限秩截断中投影的SOT极限）证明特定群表示的$C^*$-代数的剩余有限维性。
• 通过单位元缩放诱导的同构，将稳定性问题约化为投影关系的普遍$C^*$-代数。
• 使用酉共轭和分解技术，构造满足群关系的扰动酉元组。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有非平凡中心的1-relator群在归一化的希尔伯特-施密特范数下是$II_1$-因子稳定的？
• RQ2 对于阿贝尔群，何时矩阵稳定性等价于特征由有限维表示迹逼近的条件？
• RQ3 在相同范数下，非阿贝尔群矩阵稳定性的充要条件是什么？
• RQ4 具有特征刚性的剩余有限群是否满足矩阵稳定性所必需的迹逼近性质？
• RQ5 形式为$\langle x,y,z \mid x^2 = y^3, y^5 = z^7 \rangle$的群的$C^*$-代数是否为剩余有限维的？

主要发现

• 所有具有非平凡中心的1-relator群都是$II_1$-因子稳定的，如定理10所建立。
• 离散海森堡群$\mathbb{H}_3$是矩阵稳定的，如定理6所示。
• 所有拟阿贝尔群都是矩阵稳定的，如定理5所证明。
• 对于阿贝尔群，矩阵稳定性等价于每个特征是有限维表示迹的逐点极限的条件，如定理4所述。
• 具有特征刚性的剩余有限群满足迹逼近性质，如推论1所示。
• 形式为$\langle x,y,z \mid x^2 = y^3, y^5 = z^7 \rangle$的群的$C^*$-代数是剩余有限维的，如定理11所证明。