[论文解读] Stability of Rankin-Selberg gamma factors for $ extrm{Sp}(2n)$, $\widetilde{ extrm{Sp}}(2n)$ and $ extrm{U}(n,n)$

Qing Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在奇素数剩余特征的 $ p $-进域 $ F $ 上，建立了对称群 $ \mathrm{Sp}(2n) $、其施瓦茨覆盖 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2n) $ 以及酉群 $ \mathrm{U}(n,n) $ 的 Rankin-Selberg $ \gamma $-因子的稳定性。通过使用 Howe 向量与部分 Bessel 函数，作者证明了这些 $ \gamma $-因子在 $ F^\times $ 的高度分歧特征扭变下保持不变，从而将稳定性结果扩展至 Langlands-Shahidi 方法未完全覆盖的群，特别是在积分表示的语境下。

ABSTRACT

Let $F$ be a $p$-adic field and $E/F$ be a quadratic extension. In this paper, we prove the stability of Rankin-Selberg gamma factors for $ extrm{Sp}_{2n}(F)$, $\widetilde { extrm{Sp}}_{2n}(F)$ and $ extrm{U}_{E/F}(n,n)$ when the characteristic of the residue field of $F$ is not $2$.

研究动机与目标

• 建立 $ \mathrm{Sp}(2n) $、$ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2n) $ 与 $ \mathrm{U}(n,n) $ 在 $ p $-进域上的 Rankin-Selberg $ \gamma $-因子的稳定性。
• 将稳定性结果扩展至 Langlands-Shahidi 方法未完全覆盖的群，特别是在积分表示的语境下。
• 发展一种基于积分表示而非 Langlands-Shahidi 理论的证明框架，以保留对 $ L $-函数的内在价值，而无需依赖此类构造。
• 推广与 Howe 向量相关的部分 Bessel 函数的稳定性，为未来 $ \mathrm{Sp}(2n) $ 与 $ \mathrm{U}(n,n) $ 的局部反定理提供可能。

提出的方法

• 通过在 unipotent 子群 $ U_m $ 上对一个通用特征 $ \psi_U $ 进行平均，构造 Howe 向量，确保其在更高同余子群下的不变性。
• 分析与这些 Howe 向量相关的部分 Bessel 函数，证明其在高度分歧特征扭变下的稳定性。
• 应用互换算子与 zeta 积分理论，将 $ \gamma $-因子与 Whittaker 函数及 Schwartz 函数的行为联系起来。
• 采用度量估计与体积归一化，确保当 $ \mathrm{Re}(s) $ 足够大时 zeta 积分的绝对收敛性。
• 利用酉群情形下 Fourier-Jacobi 模型的唯一性，建立 $ \gamma $-因子作为 $ q_F^{-s} $ 的有理函数存在的依据。
• 改编 Baruch 及作者先前工作的技术，将 $ \mathrm{Sp}(2n) $ 上的稳定性结果推广至 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2n) $ 与 $ \mathrm{U}(n,n) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ p $-进域上，Rankin-Selberg $ \gamma $-因子在 $ F^\times $ 的高度分歧特征扭变下，对 $ \mathrm{Sp}(2n) $、$ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2n) $ 与 $ \mathrm{U}(n,n) $ 是否保持稳定？
• RQ2 是否可以在积分表示框架内直接证明 $ \gamma $-因子的稳定性，而无需依赖 Langlands-Shahidi 方法？
• RQ3 与 Howe 向量相关的部分 Bessel 函数在高度分歧特征扭变下的行为如何？
• RQ4 在何种剩余特征与扩张 $ E/F $ 条件下，$ \mathrm{U}(n,n) $ 的稳定性结果成立？
• RQ5 部分 Bessel 函数的稳定性是否可导出 $ \mathrm{Sp}(2n) $ 与 $ \mathrm{U}(n,n) $ 的局部反定理？

主要发现

• 当 $ F $ 的剩余特征为奇数时，$ \mathrm{Sp}(2n) $、$ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2n) $ 与 $ \mathrm{U}(n,n) $ 的 $ \gamma $-因子在 $ F^\times $ 的高度分歧特征扭变下保持稳定。
• 与 Howe 向量相关的部分 Bessel 函数的稳定性作为关键技术结果被确立，其中定理 3.11 提供了核心分析工具。
• 对于 $ \mathrm{U}(n,n) $，当 $ E/F $ 为非分歧扩张，或 $ E/F $ 为分歧扩张但剩余特征不为 2 时，结果成立。
• 该证明完全自包含于 Rankin-Selberg 积分框架内，即使在某些情形下已知与 Langlands-Shahidi $ \gamma $-因子一致，也未依赖其结果。
• 该方法即使在引用文献中尚未建立 Rankin-Selberg 与 Langlands-Shahidi $ \gamma $-因子一致性的情况下，仍为 $ \mathrm{U}(n,n) $ 获得稳定性结果。
• 证明表明，对所有 $ m \geq C $，其中 $ C $ 是满足向量被 $ K_C $ 固定的整数，$ \gamma $-因子的稳定性成立，确保了极限下的一致行为。