[论文解读] Stability of Tails and 4-Canonical Models

Donghoon Hyeon, Ian Morrison|ArXiv.org|Jun 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明，亏格 $g \geq 3$ 曲线的 4- canonical Hilbert 与 Chow 赋值的 GIT 商给出了伪稳定曲线的模空间 $¯{M}_g^{\text{ps}}$。通过精确计算具有椭圆尾部或尖点尾部的曲线在 $m$-th Hilbert 点上的单参数子群的权重，作者证明了此类曲线是 $m$-Hilbert 不稳定且 Chow 严格半稳定，从而确认该商空间参数化的是不含椭圆尾部、仅有节点与普通尖点的伪稳定曲线。

ABSTRACT

We show that the GIT quotients of suitable loci in the Hilbert and Chow schemes of 4-canonically embedded curves of genus $g\ge 3$ are the moduli space $\bar{M}_g^{ ext{ps}}$ of pseudo-stable curves constructed by Schubert in \cite{Schubert} using Chow varieties and 3-canonical models. The only new ingredient needed in the Hilbert scheme variant is a more careful analysis of the stability with respect to a certain 1-ps $λ$ of the $m^{ ext{th}}$ Hilbert points of curves $X$ with elliptic tails. We compute the exact weight with which $λ$ acts, and not just the leading term in $m$ of this weight. A similar analysis of stability of curves with rational cuspidal tails allows us to determine the stable and semistable 4-canonical Chow loci. Although here the geometry of the quotient is more complicated because there are strictly semi-stable orbits, we are able to again identify it as $\bar{M}_g^{ ext{ps}}$. Our computations yield, as byproducts, examples of both $m$-Hilbert unstable and $m$-Hilbert stable $X$ that are Chow strictly semi-stable.

研究动机与目标

• 通过解决 $ν=4$ 情况，完成 $ν$-canonical 曲线模空间的 GIT 构造。
• 证明 4- canonical Hilbert 与 Chow 商参数化伪稳定曲线，且不包含椭圆尾部。
• 计算具有椭圆或尖点尾部的曲线在 $m$-th Hilbert 点上的一族单参数子群的精确权重。
• 澄清 4- canonical 设置下 Hilbert 与 Chow 稳定性之间的关系，特别是对严格半稳定局部的分析。
• 确认 $¯{M}_g^{\text{ps}}$ 是 4- canonical 嵌入下 Hilbert 与 Chow 算术的 GIT 商。

提出的方法

• 通过显式单项式基与奇点处的零点阶数，精确计算具有椭圆尾部的曲线在 $m$-th Hilbert 点上的 $\rho^{-1}$-权重。
• 分析单参数子群 $\rho$ 在具有椭圆尾部的 4- canonical 模型 $m$-th Hilbert 点上的作用，计算出精确权重 $\mu([Z]_m, \rho^{-1}) = m-1$（对尖点曲线）。
• 利用精确权重计算，证明具有椭圆尾部的 4- canonical 模型的 $m$-th Hilbert 点是 $\rho$-不稳定，从而推广了 Schubert 的 3- canonical 结果。
• 将相同方法应用于具有有理尖点尾部的曲线，证明当 $m \geq 2$ 时，其为 $m$-Hilbert 稳定且 Chow 严格半稳定，且 $\mu([Z]_m, \rho^{-1}) = m-1$。
• 通过单射性、双有理性与正规性论证，证明 4- canonical Hilbert 与 Chow 商彼此同构，且同构于 $\overline{M}_g^{\text{ps}}$。
• 利用 Kollár 关于平坦普遍族与基本循环映射逆的正则性结果，证明 Hilbert 与 Chow 商彼此同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 4- canonical Hilbert 商是否对亏格 $g \geq 3$ 的曲线给出伪稳定曲线的模空间 $¯{M}_g^{\text{ps}}$？
• RQ2 具有椭圆尾部的 4- canonical 模型的 $m$-th Hilbert 点在特定单参数子群 $\rho$ 作用下是否不稳定？
• RQ3 单参数子群 $\rho^{-1}$ 作用在具有普通尖点的 4- canonical 曲线的 $m$-th Hilbert 点上的精确权重是多少？
• RQ4 4- canonical Hilbert 与 Chow 算术中的半稳定局部与弱伪稳定及伪稳定曲线模空间之间有何关系？
• RQ5 自然映射 $\varpi: \text{Hilb}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7} \to \text{Chow}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ 是否为同构？

主要发现

• 具有椭圆尾部的 4- canonical 模型的 $m$-th Hilbert 点是 $\rho$-不稳定的，如引理 1 与推论 2 中通过精确权重计算所示。
• 对具有普通尖点的 4- canonical 曲线，其 $m$-th Hilbert 点是 $m$-Hilbert 稳定，Chow 点是 Chow 严格半稳定，且 $\mu([Z]_m, \rho^{-1}) = m - 1$。
• 4- canonical Hilbert 商 $\text{Hilb}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ 同构于 $\overline{M}_g^{\text{ps}}$，其稳定局部参数化伪稳定曲线，且无严格半稳定点。
• 4- canonical Chow 商 $\text{Chow}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ 同构于 $\overline{M}_g^{\text{ps}}$，其半稳定局部参数化弱伪稳定曲线，且同构关系在具有相同 Deligne-Mumford 稳化、且具有尖点或椭圆尾部的曲线上精确成立。
• 映射 $\varpi: \text{Hilb}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7} \to \text{Chow}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ 是同构，通过两个空间的单射性、双有理性与正规性得以确立。