[论文解读] Stabilization approaches for the hyperelastic immersed boundary method for problems of large-deformation incompressible elasticity

Ben Vadala-Roth, Shashank Acharya+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于超弹性浸入边界法的体积稳定化方法，以改善大变形不可压缩弹性中的体积守恒。通过将应变能分解为等体积和体积变化分量，并增强离散的拉格朗日乘子以实现不可压缩性，该方法在计算成本极低的情况下实现了与稳定化有限元方法相当的精度，显著降低了准静态和动态流固耦合基准测试中的体积误差。

ABSTRACT

The immersed boundary method is a mathematical framework for modeling fluid-structure interaction. This formulation describes the momentum, viscosity, and incompressibility of the fluid-structure system in Eulerian form, and it uses Lagrangian coordinates to describe the structural deformations, stresses, and resultant forces. Integral transforms with Dirac delta function kernels connect the Eulerian and Lagrangian frames. The fluid and the structure are both typically treated as incompressible materials. Upon discretization, however, the incompressibility of the structure is only maintained approximately. To obtain an immersed method for incompressible hyperelastic structures that is robust under large structural deformations, we introduce a volumetric energy in the solid region that stabilizes the formulation and improves the accuracy of the numerical scheme. This formulation augments the discrete Lagrange multiplier for the incompressibility constraint, thereby improving the original method's accuracy. This volumetric energy is incorporated by decomposing the strain energy into isochoric and dilatational components, as in standard solid mechanics formulations of nearly incompressible elasticity. We study the performance of the stabilized method using several quasi-static solid mechanics benchmarks, a dynamic fluid-structure interaction benchmark, and a detailed three-dimensional model of esophageal transport. The accuracy achieved by the stabilized immersed formulation is comparable to that of a stabilized finite element method for incompressible elasticity using similar numbers of structural degrees of freedom.

研究动机与目标

• 解决在模拟大变形不可压缩弹性时浸入边界法中的体积守恒误差问题。
• 开发一种稳定化技术，即使在离散化引起的误差下也能保持固体力学区域的不可压缩性。
• 在不损害稳定性或增加计算成本的前提下，提高数值精度和收敛性。
• 在准静态和动态流固耦合基准测试中评估该方法的性能，包括一个3D食管输送模型。
• 通过体积惩罚和修改的不变量，建立适用于超弹性IB方法的鲁棒默认公式。

提出的方法

• 在固体力学区域引入体积能项以稳定不可压缩性约束，将应变能分解为等体积和体积变化分量。
• 通过体积能增强离散的拉格朗日乘子以实现不可压缩性，从而在欧拉框架中更有效地施加该约束。
• 在弹性能量泛函中使用修改的不变量（例如 $\bar{I}_4$, $\bar{I}_5$），以更好地捕捉大变形下的材料响应。
• 仅在固体力学区域应用该稳定化方法，从而保持原始IB框架的结构和耦合算子不变。
• 通过偏量投影公式实现该方法，确保与近似不可压缩弹性理论的一致性。
• 使用正则化的狄拉克δ函数实现欧拉域与拉格朗日域之间的耦合，保持速度传递的平滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 体积稳定化在大变形超弹性浸入边界模拟中如何改善体积守恒？
• RQ2 使用修改的不变量与未修改的不变量相比，对数值精度和变形质量有何影响？
• RQ3 该稳定化方法能否在相同自由度数量下实现与稳定化有限元方法相当的精度？
• RQ4 该方法在动态流固耦合问题（如弹性带基准测试和食管输送）中的表现如何？
• RQ5 该稳定化技术是否会引入数值不稳定或显著的计算开销？

主要发现

• 与未稳定化的无修改不变量情况相比，该稳定化方法在扭转测试中将体积误差降低了高达59%。
• 在所有基准测试中，包括各向异性的库克膜和3D食管输送模型，体积守恒性能均得到显著改善。
• 该方法在使用相同结构自由度数量的情况下，实现了与稳定化有限元方法相当的精度。
• 仅出现轻微减少，但实现了点对点的体积守恒，且在食管输送模拟中有效防止了单元反转。
• 该方法未对稳定性产生任何负面影响，且计算开销可忽略不计，适用于大规模模拟。
• 结合体积惩罚与修改的不变量所获得的结果优于仅使用未修改不变量且无惩罚的情况。