[论文解读] Stabilization of Higher Order Cut Finite Element Methods on Surfaces

Mats G. Larson, Sara Zahedi|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文为在 $[\mathbb{R}^d]$ 中的曲面上求解椭圆PDE的切割有限元方法提出了一种新颖的稳定化项。该方法结合了经过缩放的法向导数与单元面上的跳变控制，以稳定高阶单元，确保刚度矩阵的条件数按 $O(h^{-2})$ 规模缩放，并在曲面和一般 $n$-维流形上对线性及高阶单元实现了能量范数和 $L^2$ 范数下的最优误差估计。

ABSTRACT

We develop and analyze a stabilization term for cut finite element approximations of an elliptic second order partial differential equation on a surface embedded in $\mathbb{R}^d$. The new stabilization term combines properly scaled normal derivatives at the surface together with control of the jump in the normal derivatives across faces and provides control of the variation of the finite element solution on the active three dimensional elements that intersect the surface. We show that the condition number of the stiffness matrix is $O(h^{-2})$, where $h$ is the mesh parameter. The stabilization term works for linear as well as for higher-order elements and the derivation of its stabilizing properties is quite straightforward, which we illustrate by discussing the extension of the analysis to general $n$-dimensional smooth manifolds embedded in $\mathbb{R}^d$, with codimension $d-n$. We also formulate properties of a general stabilization term that are sufficient to prove optimal scaling of the condition number and optimal error estimates in energy- and $L^2$-norm. We finally present numerical studies confirming our theoretical results.

研究动机与目标

• 为解决在曲面上求解椭圆PDE时切割有限元方法的不稳定性和病态性，特别是针对高阶单元的情况。
• 开发一种控制与曲面相交的活性三维单元上解的变化的稳定化机制。
• 确保刚度矩阵条件数的缩放为最优，且与单元阶次无关。
• 将稳定化框架推广至嵌入在 $[\mathbb{R}^d]$ 中的、余维为 $d-n$ 的一般 $n$-维光滑流形。
• 推导出一般稳定化项产生能量范数和 $L^2$ 范数下最优误差估计的充分条件。

提出的方法

• 引入一种结合了曲面上适当缩放的法向导数与单元面上法向导数跳变控制的稳定化项。
• 将该稳定化项应用于与曲面相交的活性三维单元，确保对嵌入空间中解的变化实现控制。
• 推导出刚度矩阵条件数的理论界，证明其按 $O(h^{-2})$ 规模缩放。
• 将分析推广至嵌入在 $[\mathbb{R}^d]$ 中的 $n$-维光滑流形，余维为 $d-n$，并采用类似的稳定化原理。
• 制定一般稳定化项的充分条件，以保证条件数的最优缩放以及能量范数和 $L^2$ 范数下最优误差估计的实现。
• 通过数值实验验证理论结果在条件数缩放和收敛率方面的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何设计一种稳定化项，以确保切割有限元方法在曲面上的条件数缩放为最优？
• RQ2 法向导数项与跳变惩罚项的何种组合能够稳定切割曲面上的高阶有限元近似？
• RQ3 该稳定化框架能否推广至嵌入在 $[\mathbb{R}^d]$ 中、余维为 $d-n$ 的一般 $n$-维流形？
• RQ4 要实现能量范数和 $L^2$ 范数下最优误差估计，稳定化项需要满足哪些充分条件？
• RQ5 理论预测的条件数和收敛率在数值实验中是否成立？

主要发现

• 所提出的稳定化项确保了刚度矩阵的条件数按 $O(h^{-2})$ 规模缩放，且与有限元空间的多项式阶次无关。
• 在曲面上，线性及高阶有限元均实现了能量范数下的最优误差估计。
• 已建立稳定化切割有限元方法在 $L^2$ 范数下的最优误差估计。
• 该稳定化机制可自然推广至嵌入在 $[\mathbb{R}^d]$ 中的 $n$-维光滑流形，保持最优条件数和收敛性。
• 数值研究证实了理论预测，显示出预期的收敛率和条件数缩放行为。
• 该稳定化项有效控制了与曲面相交的活性三维单元上的解的变化，防止了病态性。