[论文解读] Stabilization of polynomial dynamical systems using linear programming based on Bernstein polynomials

Mohamed Amin Ben Sassi, Sriram Sankaranarayanan|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Advanced Control Systems Optimization参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于线性规划的方法，利用伯恩斯坦多项式和策略迭代，联合合成静态输出反馈控制器与李雅普诺夫函数，以稳定多项式动力系统。通过迭代求解双线性多项式优化问题的线性松弛，该方法确保了指定盒形区域的渐近稳定性和不变性，在基准示例中表现出高效收敛性，验证了其有效性。

ABSTRACT

In this paper, we deal with the problem of synthesizing static output feedback controllers for stabilizing polynomial systems. Our approach jointly synthesizes a Lyapunov function and a static output feedback controller that stabilizes the system over a given subset of the state-space. Specifically, our approach is simultaneously targeted towards two goals: (a) asymptotic Lyapunov stability of the system, and (b) invariance of a box containing the equilibrium. Our approach uses Bernstein polynomials to build a linear relaxation of polynomial optimization problems, and the use of a so-called "policy iteration" approach to deal with bilinear optimization problems. Our approach can be naturally extended to synthesizing hybrid feedback control laws through a combination of state-space decomposition and Bernstein polynomials. We demonstrate the effectiveness of our approach on a series of numerical benchmark examples.

研究动机与目标

• 解决为多项式系统设计静态输出反馈控制器的挑战，以确保状态空间区域内渐近稳定性和不变性。
• 通过将输出反馈控制中的双线性矩阵不等式（BMIs）问题重新表述为一系列线性规划，克服其非凸性。
• 通过策略迭代框架实现高效计算，交替优化李雅普诺夫函数和反馈控制器系数。
• 通过状态空间分解和伯恩斯坦多项式松弛，将方法扩展至混合反馈控制。
• 在多种维度和盒约束下，于一系列基准多项式系统中展示方法的实际有效性。

提出的方法

• 该方法利用伯恩斯坦多项式线性化多项式优化问题，将非凸的双线性项松弛为可处理的线性规划问题。
• 采用策略迭代方案，交替固定反馈控制器并优化李雅普诺夫函数，反之亦然，以迭代改进稳定性和不变性条件。
• 该方法将李雅普诺夫稳定性和不变性编码为盒形区域上的多项式不等式，并通过伯恩斯坦系数分析强制保证非负性。
• 算法使用重构线性化技术，将高阶多项式项转换为适用于LP求解器的线性形式。
• 对李雅普诺夫函数和反馈控制器均假设模板化的多项式形式，其系数通过迭代方式优化。
• 通过将状态空间分解并在各区域应用相同的基于LP的松弛，该方法自然扩展至混合控制律。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过线性规划松弛，实现对多项式系统中静态输出反馈控制器与李雅普诺夫函数的联合合成？
• RQ2 在控制器合成中，伯恩斯坦多项式松弛与策略迭代结合求解双线性多项式优化问题的效率如何？
• RQ3 在多项式系统中，能否在保证渐近稳定性的同时，充分保证指定盒形区域的不变性？
• RQ4 该方法在不同维度和复杂度的系统中，计算可扩展性与收敛行为如何？
• RQ5 在实际基准测试中，该方法在效率和可行性方面是否优于现有的BMI或平方和（SOS）方法？

主要发现

• 该方法成功稳定了11个基准多项式系统中的7个，包括最多5个状态变量且具有非平凡非线性的示例。
• 对于二维系统，每次迭代耗时约1秒；三维系统每次迭代耗时2–3秒。
• 大多数系统在3–6次迭代内收敛至可行解，其中示例11仅需2次迭代。
• 在11个示例中有6个实现了不变性，其余失败是由于稳定性与不变性条件同时严格满足的困难。
• 该方法在高维系统（如示例9，4D；示例11，5D）中表现出鲁棒性，实现了可行性且可行性间隙极小（例如6×10⁻⁵）。
• 尽管缺乏收敛性保证，该方法在多种基准测试中始终能稳定找到控制器和李雅普诺夫函数，表明其具有实际有效性。