[论文解读] Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables

Katarzyna Bartkiewicz, Adam Jakubowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 41被引用 9

一句话总结

本文建立了严格平稳、依赖序列的仿射变换部分和收敛到无限方差稳定分布的显式条件。通过将稳定分布参数直接与底层过程的尾部特征关联，该研究为先前基于点过程的定性极限结果提供了定量替代方案，并在 GARCH(1,1)、随机波动率和随机递归模型中具有应用价值。

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide conditions which ensure that the affinely transformed partial sums of a strictly stationary process converge in distribution to an infinite variance stable distribution. Conditions for this convergence to hold are known in the literature. However, most of these results are qualitative in the sense that the parameters of the limit distribution are expressed in terms of some limiting point process. In this paper we will be able to determine the parameters of the limiting stable distribution in terms of some tail characteristics of the underlying stationary sequence. We will apply our results to some standard time series models, including the GARCH(1, 1) process and its squares, the stochastic volatility models and solutions to stochastic recurrence equations.

研究动机与目标

• 为依赖的平稳过程中的仿射变换部分和收敛到无限方差稳定分布建立条件。
• 以稳定分布参数的显式表达式替代基于点过程的定性极限表征。
• 将极限稳定分布的参数用平稳序列的可测尾部特征表示。
• 将理论框架应用于标准时间序列模型，包括 GARCH(1,1)、其平方、随机波动率和随机递归方程。

提出的方法

• 推导严格平稳序列部分和收敛到无限方差稳定分布的充分条件。
• 利用底层过程的尾部行为，特别是通过正则变体性质，表征稳定性指数和偏度参数。
• 采用点过程收敛技术，将极值行为与极限稳定分布联系起来。
• 利用正则变体理论和依赖结构，显式表达归一化常数和稳定性参数。
• 分析平稳序列的尾指数和尾测度，以确定极限稳定分布的参数。
• 通过验证 GARCH(1,1) 和随机递归方程等模型所需的尾部和依赖条件，将该框架应用于具体模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 严格平稳、依赖序列的仿射变换部分和在何种条件下收敛到无限方差稳定分布？
• RQ2 极限稳定分布的参数如何显式地用底层过程的尾部特征表示？
• RQ3 这种参数化对 GARCH(1,1) 和随机波动率等标准时间序列模型有何影响？
• RQ4 当边际分布具有无限方差时，依赖结构如何影响收敛到稳定分布的过程？

主要发现

• 极限稳定分布的稳定性指数和偏度由平稳序列的尾指数和尾测度显式决定。
• 部分和的归一化常数与尾部行为相关联，从而实现了收敛的非渐近表征。
• 在适当的尾部和依赖假设下，GARCH(1,1) 过程及其平方满足收敛到稳定分布的条件。
• 随机波动率模型也满足必要条件，使得极限稳定分布可通过尾部特征表征。
• 当创新分布具有正则变尾且系统平稳时，随机递归方程的解表现出相同的收敛行为。