[论文解读] Triangulated categories of motives in positive characteristic

Shane Kelly|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 60

一句话总结

本文在正特征下构建了概形上的三角范畴动机理论，确立了基础性质，如cdh与ℓdh拓扑的比较、动机上同调中的迹、以及基变换和射影丛下双不变循环上同调的行为。关键贡献在于证明了在反转指数特征后，双不变循环上同调满足同伦与悬垂同构，将弗里德兰德与沃耶沃茨基的经典结果推广至正特征。

ABSTRACT

This thesis presents a way to apply this theorem of Gabber to a large portion of Voevodsky's work in order to lift the assumption that resolution of singularities holds. This gives unconditional versions of many of his and others' theorems provided we work Z[1/p] linearly, where p is the exponential characteristic of the base field. One example of the many applications we give is a partial answer to a 1980 conjecture of Weibel. Another is the removal of the hypothesis of resolution of singularities from a result of Suslin that compares Bloch's higher Chow groups and etale cohomology. Voevodsky's main tool in applying resolution of singularities is the cdh topology. We enlarge it slightly in order to apply this theorem of Gabber, presenting in this thesis a topology that we name the ldh topology, where l is a prime. We compare the cdh and ldh topologies using the concept of a "presheaf with traces", providing conditions under which the cdh and ldh sheafifications of a presheaf agree, as well as its cdh and ldh cohomologies. As far as applying resolution of singularities to motives goes, Voevodsky's most important theorem can be rephrased as a cdh descent condition, and we are led to ask for conditions under which certain objects in the Morel-Voevodsky stable homotopy category satisfy ldh descent. In order to compare cdh and ldh descent, we generalise the notion of a "presheaf with traces" to the concept of an "object with traces". We build on some results of Pelaez on the functoriality of the slice filtration to show that this concept of an "object with traces" interacts well enough with the slice filtration to provide the ldh descent that we need.

研究动机与目标

• 在正特征下构建并研究概形上的三角动机范畴，将沃耶沃茨基的框架扩展至正特征情形。
• 在动机上同调中建立cdh与ℓdh拓扑之间的比较，使正特征下可使用迹与转移。
• 在反转指数特征后，证明双不变循环上同调满足同伦不变性与悬垂同构，推广弗里德兰德与沃耶沃茨基的结果。
• 在稳定同伦2-函子的背景下分析分层过滤与迹，为动机上同调计算提供工具。
• 解决相对循环的奇点问题，并在动机范畴中证明负K-理论的消失，将苏斯林的结果推广至正特征。

提出的方法

• 使用ℓdh拓扑作为cdh拓扑的细化，以比较上同调理论并建立层化结果。
• 应用带迹与转移的预层理论，将动机上同调与具有紧支集的étale上同调联系起来。
• 采用相对循环复形 $ z_{equi}(X, r) $ 定义双不变循环上同调并研究其函子性。
• 应用佩拉埃斯定理关于分层过滤的函子性，分析动机范畴的结构。
• 使用局部化技巧并反转三角范畴中的整数，以在反转指数特征后证明同构。
• 通过 $ bZ[S^{-1}] $-局部对象与 $ bZ_{( ext{prime})} $-局部化应用局部-整体原则，将全局陈述约化为局部陈述。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典奇异点消解失效的正特征下，如何构建并研究概形上的三角动机范畴？
• RQ2 在动机上同调中，cdh与ℓdh拓扑之间有何关系？它如何影响层化与上同调计算？
• RQ3 在正特征下，双不变循环上同调的同伦不变性与悬垂同构在多大程度上成立？
• RQ4 在动机稳定同伦范畴中，迹与转移如何表现？如何用于联系动机上同调与étale上同调？
• RQ5 在正特征域上的动机范畴中，负K-理论的行为如何？

主要发现

• 本文证明：对于代数闭域上特征为 $ p $ 的等维拟射影概形 $ X $，当 $ m $ 与 $ p $ 互素时，具有 $ bZ/m $-系数的高阶楚群同构于具有紧支集的étale上同调，推广了苏斯林的结果。
• 证明了在反转指数特征 $ p $ 后，双不变循环上同调满足同伦不变性，即 $ A_{r,i}(Y,X)[1/p] \to A_{r+1,i}(Y,X\times\bbA^1)[1/p] $ 是同构。
• 证明了在反转 $ p $ 后，双不变循环上同调满足悬垂与余悬垂同构，即 $ A_{r+1,i}(Y,X\times\bbP^1)[1/p] \to A_{r+1,i}(Y,X)[1/p] \times A_{r,i}(Y,X)[1/p] $ 是同构。
• 在反转 $ p $ 后，建立了关于双不变上同调中Gysin映射的典范长正合序列，推广了光滑概形的局部化序列。
• 证明了在反转指数特征后，一个概形的负 $ K $-理论在动机范畴中消失，推广了沃耶沃茨基的一个结果。
• 证明了在稳定动机同伦范畴中，分层过滤与迹及转移相容，为动机上同调计算提供了框架。