[论文解读] Stable real K-theory and real topological Hochschild homology

E. Dotto|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 12

一句话总结

本论文建立了一个从实K-理论到实拓扑霍赫希尔德同调（THR）的 Z/2-等变迹映射，证明了在环的分裂平方零扩张上，稳定KR同调等价于带有适当系数的该环的THR。该工作将经典的Dundas-McCarthy定理推广至实设置，采用Z/2-等变S2,1·-构造，并发展了一套关于具有对偶性的范畴的THR新理论。

ABSTRACT

The classical trace map is a highly non-trivial map from algebraic K-theory to topological Hochschild homology (or topological cyclic homology) introduced by Bökstedt, Hsiang and Madsen. It led to many computations of algebraic K-theory of rings. Hesselholt and Madsen recently introduced a Z/2-equivariant version of Waldhausen S-construction for categories with duality. The output is a certain spectrum with involution, called the real K-theory spectrum KR, and associated bigraded groups analogous to Atiyah's real (topological) K-groups. This thesis develops a theory of topological Hochschild homology for categories with duality, and a Z/2-equivariant trace map from real K-theory to it. The main result of the thesis is that stable KR of the category of projective modules over a split square zero extension of a ring is equivalent to the real topological Hochschild homology of the ring with appropriate coefficients. This is the real version a theorem of Dundas-McCarthy for ordinary K-theory.

研究动机与目标

• 发展具有对偶性的范畴的拓扑霍赫希尔德同调（THR）理论，将经典THH推广至实设置。
• 构造一个从实K-理论（KR）到THR的Z/2-等变迹映射，与经典的Bökstedt-Hsiang-Madsen迹映射相类比。
• 证明Dundas-McCarthy定理的实版本，建立分裂平方零扩张的KR与基环THR之间的稳定等价。
• 通过迹方法提供实K-理论的计算框架，类似于经典K-理论通过TC进行的计算。
• 将S2,1·-构造推广至具有对偶性的范畴，并通过同伦等价关系将其与实K-理论和THR联系起来。

提出的方法

• 将S2,1·-构造适配至具有对偶性的精确范畴，生成实K-理论的Z/2-等变谱模型。
• 引入使用循环范畴和对称谱，基于反结构的环的实拓扑霍赫希尔德同调（THR）的新定义。
• 利用G-悬架定理和等变连通性估计，分析THR模型及其固定点之间的映射。
• 应用Blakers-Massey定理和纤维序列，证明THR与S2,1·-构造之间自然映射的连通性。
• 采用G-连通性引理和同伦上极限技术，通过S2,1·-构造比较KR与THR的模型。
• 利用S2,1·-构造实现THR的延拓，从而实现与实K-理论的稳定比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑霍赫希尔德同调推广至具有对偶性的范畴，以定义THH的实版本？
• RQ2 从实K-理论到实拓扑霍赫希尔德同调的正确Z/2-等变迹映射是什么？
• RQ3 是否存在Dundas-McCarthy定理的实版本，即KR在分裂平方零扩张下是否等价于基环的THR？
• RQ4 S2,1·-构造与S1,1·-构造在等变设置下如何与实K-理论和THR相关联？
• RQ5 S2,1·-构造与分裂扩张的THR模型之间的自然映射的连通性如何？

主要发现

• 主要结果建立了在分裂平方零扩张A ⋉ M上的投影模范畴的实K-理论谱KR与带有适当系数的实拓扑霍赫希尔德同调THR(A; M)之间的稳定等价。
• 从实K-理论到实拓扑霍赫希尔德同调的Z/2-等变迹映射被构造，并在稳定设置下证明为等价。
• 具有对偶性的范畴的S2,1·-构造产生了一个与实K-理论谱通过Z/2-等变同伦等价的实K-理论模型。
• 证明了从S2,1·-构造到THR模型的映射是(2j + n, j + n)-连通的，连通性估计基于G-悬架定理和Blakers-Massey论证。
• THR的固定点恢复了基环的经典拓扑霍赫希尔德同调，而实K-理论谱的Z/2-固定点恢复了非退化双线性型的群完备化。
• 通过S2,1·-构造实现了THR的延拓，从而实现了与实K-理论的稳定比较，并推广了经典THH的延拓。