[论文解读] Topological Hochschild and cyclic homology for Differential graded categories

Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 13

一句话总结

本文通过构建微分分次（dg）范畴与埃伦伯格-麦克莱恩谱范畴之间的Quillen等价性，将拓扑霍赫希尔德同调（THH）与拓扑循环同调（TC）推广至微分分次（dg）范畴。进一步证明了从代数K-理论到THH存在非平凡的自然变换，并表明在ℚ上，dg范畴的拓扑等价性与拟等价性一致。

ABSTRACT

We define a topological Hochschild (THH) and cyclic (TC) homology theory for differential graded (dg) categories and construct several non-trivial natural transformations from algebraic K-theory to THH(-). In an intermediate step, we prove that the homotopy theory of dg categories is Quillen equivalent, through a four step zig-zag of Quillen equivalences, to the homotopy theory of Eilenberg-Mac Lane spectral categories. Finally, we show that over the rationals two dg categories are topological equivalent if and only if they are quasi-equivalent.

研究动机与目标

• 将拓扑霍赫希尔德同调与循环同调理论推广至微分分次（dg）范畴的框架中。
• 在dg范畴的同伦理论与埃伦伯格-麦克莱恩谱范畴的同伦理论之间建立Quillen等价性。
• 为ℤ上的dg范畴构造从代数K-理论到拓扑霍赫希尔德同调的自然变换。
• 厘清代数闭包上dg范畴的拓扑等价性与拟等价性之间的关系。

提出的方法

• 引入埃伦伯格-麦克莱恩谱范畴的概念，即在埃伦伯格-麦克莱恩环谱HR上丰富的范畴。
• 通过四步的Zig-Zag Quillen等价性，建立dg范畴与埃伦伯格-麦克莱恩谱范畴之间的联系。
• 应用布卢姆伯格与曼德尔对谱范畴的拓扑同调与循环同调理论，为dg范畴定义THH与TC。
• 利用布什菲尔德局部化与非加法滤子技术，建立模型结构与弱等价关系。
• 应用Quillen的模型范畴理论与对称谱，构造所需的同伦等价。
• 通过HR-范畴到谱范畴的限制函子，将THH与TC理论转移至dg范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑霍赫希尔德同调推广至微分分次范畴？
• RQ2 在dg范畴的背景下，代数K-理论与拓扑霍赫希尔德同调之间有何关系？
• RQ3 当且仅当在ℚ上拟等价时，两个dg范畴是否拓扑等价？
• RQ4 dg范畴与谱范畴之间的同伦理论关系是什么？
• RQ5 dg范畴的同伦理论是否与埃伦伯格-麦克莱恩谱范畴的同伦理论Quillen等价？

主要发现

• dg范畴的同伦理论通过四步Zig-Zag，与埃伦伯格-麦克莱恩谱范畴的同伦理论Quillen等价。
• 为ℤ上的dg范畴构造了从代数K-理论到拓扑霍赫希尔德同调的非平凡自然变换γₙ与γₙ,ᵣ。
• 在ℚ上，两个dg范畴拓扑等价当且仅当它们拟等价。
• 光滑射影概型X的拓扑霍赫希尔德同调等价于其dg导出范畴Dᵇ₉g(coh(X))的THH。
• dg范畴的THH与TC的构造，是通过复合HR-范畴到谱范畴的限制函子与谱范畴上已有的THH与TC理论实现的。
• 本文发展了新的同伦代数工具，包括Quillen等价性准则与非加法滤子论证，具有独立研究价值。