[论文解读] Stack-sorting for Words

Colin Defant, Noah Kravitz|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文引入了两种新的栈排序算子 $τ$-hare 和 $τ$-tortoise，将 West 的栈排序映射推广到含有重复字母的单词。研究证明了 tortoise 算子在某些情况下可比 hare 算子快得多，发展了广义的有效挂钩配置理论以计算原像数量，并证明了避免 $231$ 和 $221$ 模式的 $ε$-均匀单词由 $(\ell+1)$-Catalan 数枚举。

ABSTRACT

We introduce operators $\mathsf{hare}$ and $\mathsf{tortoise}$, which act on words as natural generalizations of West's stack-sorting map. We show that the heuristically slower algorithm $\mathsf{tortoise}$ can sort words arbitrarily faster than its counterpart $\mathsf{hare}$. We then generalize the combinatorial objects known as valid hook configurations in order to find a method for computing the number of preimages of any word under these two operators. We relate the question of determining which words are sortable by $\mathsf{hare}$ and $\mathsf{tortoise}$ to more classical problems in pattern avoidance, and we derive a recurrence for the number of words with a fixed number of copies of each letter (permutations of a multiset) that are sortable by each map. In particular, we use generating trees to prove that the $\ell$-uniform words on the alphabet $[n]$ that avoid the patterns $231$ and $221$ are counted by the $(\ell+1)$-Catalan number $\frac{1}{\ell n+1}{(\ell+1)n\choose n}$. We conclude with several open problems and conjectures.

研究动机与目标

• 将 West 的栈排序映射从排列推广到含有重复字母的单词。
• 定义并分析两种新的栈排序算子 $τ$-hare 和 $τ$-tortoise，其区别在于相等元素在栈中如何交互。
• 发展广义的有效挂钩配置理论，以计算这些算子下任意单词的原像数量。
• 将这些算子下的可排序单词与经典模式避免问题联系起来，并推导枚举结果。
• 研究单词的可育性（原像数量），并猜想所有非负整数在两种算子下均可作为可育性出现。

提出的方法

• 将 $τ$-hare 和 $τ$-tortoise 算子定义为 West 栈排序映射在单词上的自然推广，其对栈中相等元素的处理规则不同。
• 引入规范化单词和例外单词的概念，以分析排序过程中的边界情况。
• 将有效挂钩配置的概念推广至多重集，以计算两种算子下的原像数量。
• 使用生成树和递归分解，推导出具有固定字母多重集的可排序单词数量的递推关系。
• 证明了避免模式 $231$ 和 $221$ 的 $ε$-均匀单词的数量由 $(\ell+1)$-Catalan 数 $\frac{1}{\ell n+1}\binom{(\ell+1)n}{n}$ 给出。
• 分析例外单词的渐近行为，并猜想例外单词与规范化单词的比例随长度增加而上升。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于含有重复字母的单词，$τ$-hare 和 $τ$-tortoise 算子在排序速度上如何比较？
• RQ2 给定单词在 $τ$-hare 和 $τ$-tortoise 算子下的原像数量是多少？
• RQ3 哪些单词可被 $τ$-hare 和 $τ$-tortoise 算子排序，这与经典模式避免问题有何关联？
• RQ4 所有非负整数是否都可作为这些算子下的可育性（即原像数量）出现？
• RQ5 例外单词（即在标准规则下无法正确排序的单词）在规范化单词中的渐近密度是多少？

主要发现

• 在某些单词上，$τ$-tortoise 算子可比 $τ$-hare 算子快得多，显示出显著的性能优势。
• 在字母表 $[n]$ 上避免模式 $231$ 和 $221$ 的 $ε$-均匀单词的数量由 $(\ell+1)$-Catalan 数 $\frac{1}{\ell n+1}\binom{(\ell+1)n}{n}$ 给出。
• 长度为 $m$ 的例外规范化单词集合在 $m \geq 7$ 时非空，其中 $|\mathcal{E}_7| = 4$，$|\mathcal{E}_8| = 172$，$|\mathcal{E}_9| = 5001$。
• 例外单词与规范化单词的比例随 $m$ 增加而上升，表明存在正的极限密度，作者猜想 $\lim_{m\to\infty} |\mathcal{E}_m|/|\mathcal{NW}_m|$ 存在。
• 每个非负整数都可作为 $τ$-hare 和 $τ$-tortoise 算子下某个单词的可育性出现。
• 作者猜想存在无穷多个正整数不是任何排列在这些算子下的可育性，并提出了关于 $2$-均匀单词中可育性的开放问题。