[论文解读] Star operations for affine Hecke algebras

Dan Barbasch, Dan Ciubotaru|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文对graded affine Hecke代数中的星运算——即保持自然滤子的共轭线性反自同构——进行了分类，识别出两种典范类型：标准星运算（$\star$）和一种新运算（$\bullet$），后者类似于实李群表示理论中的紧致星运算。本文证明了所有具有实中心特征的球对称模都具有非退化的$\bullet$-不变埃尔米特型式，并表明在等参数代数上，$\bullet$-酉球对称模恰好是位于$\rho^\vee$-锥闭包内的那些模，其狄拉克上同调同构于旋量模。

ABSTRACT

In this paper, we consider the star operations for (graded) affine Hecke algebras which preserve certain natural filtrations. We show that, up to inner conjugation, there are only two such star operations for the graded Hecke algebra: the first, denoted $\star$, corresponds to the usual star operation from reductive $p$-adic groups, and the second, denoted $\bullet$ can be regarded as the analogue of the compact star operation of a real group considered by \cite{ALTV}. We explain how the star operation $\bullet$ appears naturally in the Iwahori-spherical setting of $p$-adic groups via the endomorphism algebras of Bernstein projectives. We also prove certain results about the signature of $\bullet$-invariant forms and, in particular, about $\bullet$-unitary simple modules.

研究动机与目标

• 对保持自然滤子的graded affine Hecke代数上的星运算进行分类。
• 确立两种此类运算的存在性与唯一性：$\star$（标准）与$\bullet$（类似紧致星运算）。
• 研究有限维模上的$\bullet$-不变埃尔米特型式及其符号。
• 确定$\bullet$-酉球对称模，并将其与狄拉克上同调联系起来。

提出的方法

• 通过自然滤子下的不变性对graded affine Hecke代数上的星运算进行分类，使用表示论与代数技巧。
• 将$\bullet$定义为$(\mathfrak{g},K)$-模中紧致星运算在Hecke代数中的类比，将其与Bernstein的投影模联系起来。
• 利用[BCT]中的狄拉克算子分析$\bullet$-酉性并计算狄拉克上同调。
• 应用同调代数与特征理论，包括$\operatorname{Hom}_{W}[\overline{X}_M, \bigwedge^* V_{\mathbb{C}}]$，以计算$W$-型的重数。
• 利用[BC4]中的结果，为几何型代数中的$\bullet$-不变型式提供典范归一化。
• 通过Springer纤维的上同调数据，将$\star$-与$\bullet$-符号联系起来，受Schmid-Vilonen的启发。

实验结果

研究问题

• RQ1 在graded affine Hecke代数上，哪些星运算保持自然滤子，且在内共轭意义下有多少种？
• RQ2 在$p$-进群的Iwahori-球对称情形下，$\bullet$-运算如何自然出现？
• RQ3 哪些球对称模是$\bullet$-酉的，其$\bullet$-不变埃尔米特型式具有怎样的结构？
• RQ4 具有中心特征$\rho^\vee$的简单模的狄拉克上同调是什么，它与$\bullet$-酉性有何关系？
• RQ5 在上同调实现中，具有实中心特征的温顺模的$\star$-与$\bullet$-符号之间有何关系？

主要发现

• 在内共轭意义下，仅有两种星运算保持自然滤子：$\star$与$\bullet$，其中$\bullet$是实李群中紧致星运算的类比。
• 每个具有实中心特征的不可约球对称${\mathbb{H}}$-模都具有非退化的$\bullet$-不变埃尔米特型式。
• 在等参数代数中，唯一的$\bullet$-酉球对称模是那些参数位于$\rho^\vee$-锥闭包内的模。
• 每个具有中心特征$\rho^\vee$的简单${\mathbb{H}}$-模的狄拉克上同调同构于旋量模$S$，且该空间非零。
• 在$\bigwedge^* V_{\mathbb{C}}$中，每个不可约$W$-型$\sigma$的重数等于$\dim \sigma$，且每个这样的$\sigma$恰好出现在$\dim \sigma$个不同的简单${\mathbb{H}}$-模中（在$\rho^\vee$处）。
• 在$A_{n-1}$型中，外幂$\bigwedge^{n-k} V_{\mathbb{C}}$在简单模$\overline{X}(n_1,\dots,n_k)$中以重数1出现。