[论文解读] State preparation based on quantum phase estimation

Jian Zhao, Yu-Chun Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于量子相位估计算法的量子态制备框架，通过高效分解对角酉算符，将经典数据映射为量子态。该工作提出了确定性和概率性两种算法，表明这些算符的高效分解是实现有效态制备的充分条件，并对实际实现中的保真度界限和成功概率进行了量化。

ABSTRACT

State preparation is a process encoding the classical data into the quantum systems. Based on quantum phase estimation, we propose the specific quantum circuits for a deterministic state preparation algorithm and a probabilistic state preparation algorithm. To discuss the gate complexity in these algorithms, we decompose the diagonal unitary operators included in the phase estimation algorithms into the basic gates. Thus, we associate the state preparation problem with the decomposition problem of the diagonal unitary operators. We analyse the fidelities in the two algorithms and discuss the success probability in the probabilistic algorithm. In this case, we explain that the efficient decomposition of the corresponding diagonal unitary operators is the sufficient condition for state preparation problems.

研究动机与目标

• 解决在量子机器学习与算法中高效编码经典数据至量子态的挑战。
• 通过将态制备与对角酉算符的分解关联，降低运行时间和门复杂度。
• 利用相位估计算法设计适用于确定性和概率性态制备的实用量子线路。
• 在受控精度条件下，量化所提算法的保真度与成功概率。
• 识别量子态制备变得高效的条件，特别是当对角酉算符可实现多项式深度分解时。

提出的方法

• 该方法利用量子相位估计算法，通过将对角酉算符分解为基本量子门，实现振幅编码。
• 对于确定性制备，算法通过使用受控-旋转门并控制角度精度（由相位估计算法导出），在辅助量子比特上应用受控-U操作。
• 对于概率性制备，算法采用振幅放大与测量后选择，其成功概率取决于估计相位角余弦值。
• 保真度分析基于三角不等式与截断相位估计算法引起的相位误差传播，对目标态与近似态之间的差异进行上界估计。
• 门复杂度分析通过将对角酉算符分解为Toffoli门与单量子比特门实现，其深度与量子比特数及所需精度相关。
• 算法设计在固定量子比特宽度O(n)内运行，适用于近期含有限量子比特资源的量子设备。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子相位估计算法能否被有效重用于实现确定性与概率性量子态制备？
• RQ2 对角酉算符的分解复杂度与态制备效率之间存在何种关系？
• RQ3 在基于相位估计算法的态制备中，保真度与成功概率如何实现解析上界？
• RQ4 在何种条件下，所提方法可实现态制备的多项式深度电路？
• RQ5 在振幅编码态制备中，电路深度、宽度与精度之间存在何种权衡？

主要发现

• 对于确定性算法，将相位估计算法寄存器大小设为 $ t = \lceil \log_2 \frac{2(n-1)\sqrt{2}\pi}{\epsilon} \rceil + 1 $ 可确保保真度误差不超过 $ \epsilon $。
• 对于概率性算法，设 $ t = 2n + \lceil \log_2 \frac{2\pi}{\epsilon} \rceil $ 可在成功概率大于 $ \frac{\|x\|^2}{2^n \max_i x_i^2} $ 的条件下实现保真度误差不超过 $ \epsilon $。
• 概率性算法的成功概率取决于数据向量分量的相对大小，$ \max_i x_i^2 $ 越大，成功可能性越高。
• 确定性算法的保真度界限源于累积相位估计算法误差，误差随量子比特数 $ n $ 线性增长。
• 本文建立：对应对角酉算符的高效分解是实现高效态制备的充分条件，尤其在数据稀疏或具有结构时表现更优。
• 当对角酉算符可实现多项式深度分解时（例如，O(n)-稀疏数据），尽管一般情况下其深度呈指数增长，整体态制备仍可实现高效。