[论文解读] Stationarity and Moment Properties of some Multivariate Count Autoregressions

Zinsou Max Debaly, Lionel Truquet|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过迭代随机映射的压缩与稳定性技术，建立了一个统一框架，用于分析单变量和多变量计数自回归过程的平稳性与矩性质。该研究通过推导最优平稳性条件，并证明了 INGARCH 及其多变量扩展的指数矩存在性，改进了现有结果，这对高维时间序列模型中的正则化估计至关重要。

ABSTRACT

We study stationarity and moments properties of some count time series models from contraction and stability properties of iterated random maps. Both univariate and multivariate processes are considered, including the recent multivariate count time series models introduced recently by Doukhan et al. (2017). We improve many existing results by providing optimal stationarity conditions or conditions ensuring existence of some exponential moments.

研究动机与目标

• 开发一种通用、统一的方法，用于研究单变量和多变量计数自回归过程的平稳性与矩性质。
• 克服标准马尔可夫链技术的局限性，这些技术因状态空间缺乏不可约性而失效。
• 将基于压缩的迭代随机映射方法推广至高阶和多变量模型，特别是 INGARCH 类过程。
• 建立充分条件以确保指数矩的存在性，这对高维设定下 LASSO 等正则化估计器的一致性至关重要。
• 在 Doukhan 等人（2017）现有结果的基础上，提供更紧致且更一般的平稳性与矩条件。

提出的方法

• 将 Wu 和 Shao（2004）提出的平均压缩框架适配至通过随机映射反向迭代实现的高阶自回归过程。
• 使用可测函数 $ F_s(x) $ 定义状态 $ X_t $ 的演化，其中 $ X_{t+1} = F_{\epsilon_{t+1}}(X_t) $，且 $ \epsilon_t $ 为独立同分布的创新项。
• 应用矩条件与压缩条件：$ \mathbb{E}[|f_0(x) - f_0(y)|] \leq C|x-y| $ 与 $ \mathbb{E}[|f_1^m(x) - f_1^m(y)|] \leq \kappa|x-y| $，其中 $ \kappa < 1 $，以确保遍历性与平稳性。
• 通过定义相伴矩阵，将该框架推广至 $ q $ 阶多变量自回归模型，并对系数矩阵施加谱半径条件。
• 采用系数矩阵 $ A_j, B_j $ 的向量化形式，并应用矩阵范数，推导出系数矩阵谱半径小于 1 的稳定性条件。
• 利用第二类斯特林数控制泊松随机变量的矩界，以控制尾部行为并推导指数矩条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用迭代随机映射时，何种条件可确保多变量计数自回归过程存在平稳解？
• RQ2 压缩技术如何推广至高阶与多变量计数数据自回归模型？
• RQ3 在何种条件下这些过程具有指数矩？为何这对高维推断至关重要？
• RQ4 能否通过统一框架将单变量 INGARCH 模型的结果推广并改进至多变量设置？
• RQ5 所提出的条件与 Doukhan 等人（2017）中的现有条件相比如何，特别是在紧致性与适用性方面？

主要发现

• 本文基于迭代随机映射的压缩性，建立了多变量计数自回归过程平稳性的通用充分条件，适用于单变量与多变量情形。
• 证明了当矩阵 $ \sum_{j=1}^q \begin{pmatrix} |B_j|_{\text{vec}} & |A_j|_{\text{vec}} \\ |B_j|_{\text{vec}} & |A_j|_{\text{vec}} \end{pmatrix} $ 的谱半径小于 1 时，可确保平稳性与矩的存在性。
• 在 $ |M|_{\infty} < 1 $ 的条件下，其中 $ M = \sum_{j=1}^q (|B_j|_{\text{vec}} + |A_j|_{\text{vec}}) $，建立了指数矩的存在性，这对高维估计至关重要。
• 作者在 Doukhan 等人（2017）结果的基础上，为多变量 INGARCH 过程提供了更紧致且更一般的平稳性条件。
• 对于泊松分布的创新项，本文推导出统一的矩界：$ \|X_\lambda\|_r \leq (1+\delta)\lambda + b_{r,\delta} $，其与 $ \lambda $ 无关，支持指数矩分析。
• 该框架能够对单变量与多变量计数过程进行清晰统一的处理，涵盖标准 INGARCH 与 INAR 模型作为特例。